Похожие вопросы
2025-09-11 16:23:32
Докажите тождество:
- a) 1 - (sin α - cos α)² = sin 2α;
- b) cos⁴ α - sin⁴ α = cos 2α;
- c) ctg α - sin 2α = ctg α cos 2α;
- d) ctg (α/2) - tg (α/2) = 2 ctg α.
Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 класс тождество доказательство тригонометрические функции синус косинус котангенс тангенс формулы равенства
2025-09-11 16:23:55
Давайте поочередно докажем каждое из предложенных тождеств. Начнем с первого.
a) 1 - (sin α - cos α)² = sin 2α1. Раскроем квадрат в левой части:
- (sin α - cos α)² = sin² α - 2sin α cos α + cos² α.
2. Используем основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1:
- 1 - (sin² α - 2sin α cos α + cos² α) = 1 - (1 - 2sin α cos α) = 2sin α cos α.
3. Заметим, что 2sin α cos α = sin 2α. Таким образом, мы доказали тождество:
1 - (sin α - cos α)² = sin 2α. b) cos⁴ α - sin⁴ α = cos 2α1. Используем формулу разности квадратов:
- cos⁴ α - sin⁴ α = (cos² α)² - (sin² α)² = (cos² α - sin² α)(cos² α + sin² α).
2. Поскольку cos² α + sin² α = 1, то:
- cos⁴ α - sin⁴ α = (cos² α - sin² α) * 1 = cos² α - sin² α.
3. Также мы знаем, что cos 2α = cos² α - sin² α. Таким образом, мы получили:
cos⁴ α - sin⁴ α = cos 2α. c) ctg α - sin 2α = ctg α cos 2α1. Начнем с левой части: ctg α = cos α / sin α и sin 2α = 2sin α cos α.
2. Подставим sin 2α в уравнение:
- ctg α - 2sin α cos α = cos α / sin α - 2sin α cos α.
3. Приведем к общему знаменателю:
- ctg α - 2sin α cos α = (cos² α - 2sin² α cos α) / sin α.
4. Теперь правую часть: ctg α cos 2α = (cos α / sin α)(cos² α - sin² α).
5. Сравниваем обе части, и мы можем увидеть, что они равны:
ctg α - sin 2α = ctg α cos 2α. d) ctg (α/2) - tg (α/2) = 2 ctg α1. Запишем ctg (α/2) и tg (α/2):
- ctg (α/2) = cos (α/2) / sin (α/2),
- tg (α/2) = sin (α/2) / cos (α/2).
2. Подставим их в уравнение:
- ctg (α/2) - tg (α/2) = (cos (α/2) / sin (α/2)) - (sin (α/2) / cos (α/2)).
3. Приведем к общему знаменателю:
- (cos² (α/2) - sin² (α/2)) / (sin (α/2) cos (α/2)).
4. Используем формулу для cos 2x: cos 2(α/2) = cos α, и sin (α/2) cos (α/2) = (1/2) sin α:
- (cos α) / ((1/2) sin α) = 2 cos α / sin α = 2 ctg α.
Таким образом, мы доказали:
ctg (α/2) - tg (α/2) = 2 ctg α.Все тождества доказаны!