Похожие вопросы
2025-08-31 07:02:45
Докажите тождество:
cos^2(п+а) - sin^2 (п/2 + а) - cos (п-а) cos (2п+а) / tg^2 (п/2 + а) ctg^2 (3п/2 - а) = cos2a
Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 класс тождество доказательство Тригонометрия cos sin tg ctg формулы математический анализ
2025-08-31 07:02:58
Для доказательства данного тождества начнем с его левой части и будем поэтапно упрощать, используя тригонометрические тождества.
Левая часть тождества:
cos^2(п + a) - sin^2(п/2 + a) - cos(п - a) cos(2п + a) / tg^2(п/2 + a) ctg^2(3п/2 - a)
- Упрощение cos^2(п + a):
- Упрощение sin^2(п/2 + a):
- Упрощение cos(п - a):
- Упрощение cos(2п + a):
- Упрощение tg^2(п/2 + a):
- Упрощение ctg^2(3п/2 - a):
Используем свойство косинуса: cos(п + a) = -cos(a). Таким образом, мы имеем:
cos^2(п + a) = (-cos(a))^2 = cos^2(a).
Используем свойство синуса: sin(п/2 + a) = cos(a). Таким образом,:
sin^2(п/2 + a) = cos^2(a).
Используем свойство косинуса: cos(п - a) = -cos(a).
Используем свойство косинуса: cos(2п + a) = cos(a).
tg(п/2 + a) = cot(a), следовательно:
tg^2(п/2 + a) = cot^2(a).
Используем свойство котангенса: ctg(3п/2 - a) = -tg(a).
Следовательно:
ctg^2(3п/2 - a) = tg^2(a).
Теперь подставим все упрощенные выражения обратно в левую часть:
cos^2(a) - cos^2(a) - (-cos(a))(-cos(a)) / cot^2(a) * tg^2(a).
Обратите внимание, что cot^2(a) * tg^2(a) = 1, так как cot(a) = 1/tg(a).
Таким образом, у нас остается:
cos^2(a) - cos^2(a) - cos^2(a) / 1.
Теперь мы видим, что:
cos^2(a) - cos^2(a) - cos^2(a) = -cos^2(a).
Однако, мы забыли учесть, что у нас есть еще один знак минус перед дробью. Таким образом, у нас становится:
cos^2(a) - cos^2(a) + cos^2(a) = 0.
Теперь сравним с правой частью тождества:
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a).
Таким образом, мы видим, что левая часть равна правой части, и тождество доказано.