Похожие вопросы
2025-09-10 00:12:55
Докажите тождество (sin 3α + sin α) / (cos 3α + cos α) = tg 2α
Помогитеее
Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 тождество доказательство Тригонометрия sin cos tg Углы формулы математика Новый
2025-09-10 00:13:16
Для доказательства тождества (sin 3α + sin α) / (cos 3α + cos α) = tg 2α будем использовать формулы сложения и преобразования тригонометрических функций.
Начнем с левой части уравнения:
1. Применим формулы для суммы синусов и косинусов:
- Сначала запишем sin 3α через sin α и cos α:
- sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
- Теперь подставим это в выражение:
sin 3α + sin α = (3sin α - 4sin³ α) + sin α = 4sin α - 4sin³ α = 4sin α(1 - sin² α) = 4sin α cos² α.
2. Теперь рассмотрим косинус:
- cos 3α можно выразить как:
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α.
- Подставим это в выражение:
cos 3α + cos α = (4cos³ α - 3cos α) + cos α = 4cos³ α - 2cos α = 2cos α(2cos² α - 1) = 2cos α cos 2α.
3. Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:
(sin 3α + sin α) / (cos 3α + cos α) = (4sin α cos² α) / (2cos α cos 2α).
Упростим это выражение:
- Сократим cos α в числителе и знаменателе:
2sin α cos α / cos 2α.
4. Используем определение тангенса:
Знаем, что tg α = sin α / cos α, следовательно:
2sin α cos α = sin 2α.
Теперь у нас есть:
sin 2α / cos 2α = tg 2α.
Таким образом, мы доказали, что:
(sin 3α + sin α) / (cos 3α + cos α) = tg 2α.
Тождество верно.