Используя формулу производной от суммы, как найти производную функции:

1. y=x^2-5x+1/x;
2. y=x(x^2-5x+1);
3. x^3-5x^2+1/x.

Алгебра 11 класс Производные и правила дифференцирования алгебра 11 класс производная сумма функция y=x^2-5x+1/x y=x(x^2-5x+1) x^3-5x^2+1/x формула производной нахождение производной математический анализ дифференцирование Новый

Давайте найдем производную функции y = x^2 - 5x + 1/x с использованием формулы производной от суммы. Функция состоит из трех компонентов: x^2, -5x и 1/x.

Сначала напомним, что производная от суммы функций равна сумме производных этих функций. То есть, если у нас есть функция y = f(x) + g(x) + h(x), то производная будет y' = f'(x) + g'(x) + h'(x).

Теперь найдем производные каждого из компонентов:

1. Производная от x^2:
   • Используем правило: (x^n)' = n*x^(n-1). Здесь n = 2.
   • Производная будет: 2*x^(2-1) = 2x.
2. Производная от -5x:
   • Здесь мы просто применяем правило: (k*x)' = k, где k = -5.
   • Производная будет: -5.
3. Производная от 1/x:
   • Мы можем переписать 1/x как x^(-1).
   • Применяем правило: (x^n)' = n*x^(n-1), где n = -1.
   • Производная будет: -1*x^(-1-1) = -1/x^2.

Теперь, складывая все найденные производные, получаем:

y' = 2x - 5 - 1/x^2.

Теперь перейдем ко второй функции y = x(x^2 - 5x + 1). Здесь мы видим, что это произведение двух функций: u = x и v = x^2 - 5x + 1. Для нахождения производной используем правило производной произведения:

(uv)' = u'v + uv'.

1. Находим u':
   • Производная от x будет 1.
2. Находим v':
   • Ранее мы уже находили производную v (x^2 - 5x + 1), она равна 2x - 5.

Теперь подставим все в формулу:

y' = (1)(x^2 - 5x + 1) + x(2x - 5).

Раскроем скобки:

y' = x^2 - 5x + 1 + 2x^2 - 5x = 3x^2 - 10x + 1.

Теперь последняя функция y = x^3 - 5x^2 + 1/x. Здесь мы можем снова использовать правила производной от суммы:

1. Производная от x^3:
   • По правилу: (x^n)' = n*x^(n-1), где n = 3.
   • Получаем: 3x^2.
2. Производная от -5x^2:
   • Здесь n = 2, и получаем: -10x.
3. Производная от 1/x:
   • Как мы уже находили, это -1/x^2.

Теперь складываем производные:

y' = 3x^2 - 10x - 1/x^2.

Итак, мы нашли производные всех трех функций:

• Для первой функции: y' = 2x - 5 - 1/x^2.
• Для второй функции: y' = 3x^2 - 10x + 1.
• Для третьей функции: y' = 3x^2 - 10x - 1/x^2.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как находить производные с использованием формул и правил!