Используя метод вспомогательного аргумента, покажите, что уравнение sin(4x) - cos(4x) = √2.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение метод вспомогательного аргумента sin(4x) cos(4x) √2 тригонометрические уравнения решение уравнений математический анализ функции Новый

Для решения уравнения sin(4x) - cos(4x) = √2 мы воспользуемся методом вспомогательного аргумента, который позволит упростить нашу задачу и найти решение.

Первым шагом мы можем преобразовать левую часть уравнения. Мы знаем, что sin(α) - cos(α) можно выразить через одну тригонометрическую функцию, используя формулы приведения и свойства тригонометрических функций.

Рассмотрим выражение sin(4x) - cos(4x). Мы можем представить его в виде:

• sin(4x) - cos(4x) = √2

Теперь мы можем воспользоваться известным приемом, который заключается в том, чтобы выразить sin(4x) - cos(4x) через одну тригонометрическую функцию. Для этого мы можем воспользоваться формулой:

• sin(α) - cos(α) = √2 * sin(α - π/4)

Таким образом, мы можем переписать наше уравнение в следующем виде:

• √2 * sin(4x - π/4) = √2

Теперь, разделив обе стороны на √2, мы получаем:

• sin(4x - π/4) = 1

Следующим шагом мы решим уравнение sin(4x - π/4) = 1. Мы знаем, что синус равен 1, когда его аргумент равен π/2 + 2kπ, где k — целое число. Таким образом, мы можем записать:

• 4x - π/4 = π/2 + 2kπ

Теперь решим это уравнение относительно x:

• 4x = π/2 + π/4 + 2kπ
• 4x = 3π/4 + 2kπ
• x = (3π/4 + 2kπ)/4

Таким образом, мы получили общее решение уравнения:

• x = 3π/16 + kπ/2, где k — целое число.

В заключение, мы показали, что уравнение sin(4x) - cos(4x) = √2 имеет множество решений, которые можно выразить в виде x = 3π/16 + kπ/2, где k — любое целое число.