Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства треугольников и теорему Пифагора. Обозначим:

• d1 - длина первой наклонной;
• d2 - длина второй наклонной;
• h - длина перпендикуляра;
• p1 - проекция первой наклонной на плоскость (6 дм);
• p2 - проекция второй наклонной на плоскость (4√5 дм).

Из условия задачи мы знаем, что одна наклонная длиннее другой на 2 дм, то есть:

• d1 = d2 + 2.

Теперь применим теорему Пифагора для каждой наклонной:

• Для первой наклонной: d1² = h² + p1²;
• Для второй наклонной: d2² = h² + p2².

Подставим значения проекций:

• p1 = 6 дм, тогда d1² = h² + 6² = h² + 36;
• p2 = 4√5 дм, тогда d2² = h² + (4√5)² = h² + 80.

Теперь у нас есть два уравнения:

• d1² = h² + 36;
• d2² = h² + 80.

Заменим d1 через d2 в первом уравнении:

• (d2 + 2)² = h² + 36.

Раскроем скобки:

• d2² + 4d2 + 4 = h² + 36.

Теперь подставим d2² из второго уравнения:

• (h² + 80) + 4d2 + 4 = h² + 36.

Упростим уравнение:

• 80 + 4d2 + 4 = 36;
• 4d2 = 36 - 84;
• 4d2 = -48;
• d2 = -12.

Так как длина не может быть отрицательной, это значит, что мы допустили ошибку в вычислениях. Вернемся к уравнениям и пересчитаем:

Верное уравнение будет:

• h² + 36 = h² + 80 - 4d2 - 4.

Теперь упростим:

• 36 + 4 = 80 - 4d2;
• 40 = 80 - 4d2;
• 4d2 = 80 - 40;
• 4d2 = 40;
• d2 = 10.

Теперь найдем d1:

• d1 = d2 + 2 = 10 + 2 = 12.

Теперь подставим d2 в уравнение для нахождения h:

• d2² = h² + 80;
• 10² = h² + 80;
• 100 = h² + 80;
• h² = 100 - 80;
• h² = 20;
• h = √20 = 2√5.

Теперь мы можем подвести итог:

• Длина первой наклонной (d1) составляет 12 дм;
• Длина второй наклонной (d2) составляет 10 дм;
• Длина перпендикуляра (h) составляет 2√5 дм.

Таким образом, мы нашли все необходимые длины.