В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где основание представляет собой квадрат со стороной 1, а высота параллелепипеда равна 2, каково расстояние от точки A до прямой B1D?

Алгебра 11 класс Геометрия в пространстве расстояние от точки A до прямой B1D прямоугольный параллелепипед алгебра 11 класс геометрия задачи по алгебре Новый

Для того чтобы найти расстояние от точки A до прямой B1D в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, начнем с того, что определим координаты всех вершин параллелепипеда.

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 2)
• B1(1, 0, 2)
• C1(1, 1, 2)
• D1(0, 1, 2)

Теперь мы можем определить координаты точек, которые образуют прямую B1D:

• B1(1, 0, 2)
• D(0, 1, 0)

Чтобы найти уравнение прямой B1D, воспользуемся параметрическим представлением. Прямая B1D может быть описана с помощью параметра t:

• x = 1 - t
• y = t
• z = 2 - 2t

Теперь мы можем найти вектор, направляющий прямую B1D. Для этого найдем разность координат точек B1 и D:

• Вектор BD = D - B1 = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 2) = (-1, 1, -2)

Теперь найдем вектор, который соединяет точку A с любой точкой на прямой B1D. Для удобства возьмем t = 0, тогда точка на прямой будет B1(1, 0, 2):

• Вектор AB1 = B1 - A = (1 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (1, 0, 2)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве. Расстояние d от точки A до прямой, заданной вектором v и проходящей через точку P, можно найти по формуле:

d = |(AP x v)| / |v|,

где AP - вектор от точки A до точки P (в данном случае B1), а v - направляющий вектор прямой (в нашем случае это вектор BD).

Теперь найдем вектор v и его длину:

• v = (-1, 1, -2)
• |v| = √((-1)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6

Теперь найдем вектор AP и произведение векторов AP и v:

• AP = (1, 0, 2)
• AP x v = |i j k|
• |1 0 2|
• |-1 1 -2|

Вычислим детерминант:

1. i(0 * -2 - 1 * 2) - j(1 * -2 - 2 * -1) + k(1 * 1 - 0 * -1)
2. = i(0 - 2) - j(-2 + 2) + k(1 - 0)
3. = -2i + 0j + 1k

Таким образом, вектор AP x v = (-2, 0, 1).

Теперь найдем его длину:

• |AP x v| = √((-2)^2 + 0^2 + 1^2) = √(4 + 0 + 1) = √5.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для расстояния:

d = |AP x v| / |v| = √5 / √6.

Таким образом, расстояние от точки A до прямой B1D равно √5 / √6.