Как разложить вектор ЕМ по векторам A и найти площадь треугольника ABC, если даны точки A(-2; 0; 1), B(-6; 3; -2), а точка C принадлежит оси аппликат и равноудалена от точек A и B?

Алгебра 11 класс Геометрия в пространстве разложение вектора векторы a и b площадь треугольника точки A B C координаты точек ось аппликат равноудаленные точки Новый

Для начала давайте найдем координаты точки C, которая принадлежит оси аппликат (то есть имеет координаты вида (x, 0, z)) и равноудалена от точек A и B.

Координаты точки A: A(-2, 0, 1) и точки B: B(-6, 3, -2).

Для того чтобы найти точку C, нам нужно использовать условие равноудаленности. Это означает, что расстояние от точки C до точки A равно расстоянию от точки C до точки B. Расстояние между двумя точками в пространстве рассчитывается по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Пусть координаты точки C будут (x, 0, z). Тогда:

1. Расстояние от C до A:
• d(C, A) = √((x + 2)² + (0 - 0)² + (z - 1)²) = √((x + 2)² + (z - 1)²)
2. Расстояние от C до B:
• d(C, B) = √((x + 6)² + (0 - 3)² + (z + 2)²) = √((x + 6)² + 9 + (z + 2)²)

Теперь у нас есть два расстояния. Мы можем приравнять их:

√((x + 2)² + (z - 1)²) = √((x + 6)² + 9 + (z + 2)²)

Теперь уберем корень, возведя обе стороны в квадрат:

(x + 2)² + (z - 1)² = (x + 6)² + 9 + (z + 2)²

Раскроем скобки:

(x² + 4x + 4) + (z² - 2z + 1) = (x² + 12x + 36) + 9 + (z² + 4z + 4)

Упрощаем уравнение:

4x + 5 - 2z = 12x + 49 + 4z

Переносим все слагаемые на одну сторону:

-8x - 6z - 44 = 0

Теперь мы можем выразить z через x:

8x + 6z = 44

z = (44 - 8x) / 6

Теперь у нас есть зависимость между x и z. Чтобы найти конкретные значения, подставим x = -4 (среднее значение между x координатами A и B):

z = (44 - 8 * -4) / 6 = (44 + 32) / 6 = 76 / 6 = 12.67 (приблизительно)

Таким образом, точка C будет иметь координаты C(-4, 0, 12.67).

Теперь, когда мы нашли координаты всех трех точек, можем найти площадь треугольника ABC. Площадь треугольника в пространстве можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где AB и AC - векторы, образованные точками A, B и C.

Сначала найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (-6 + 2, 3 - 0, -2 - 1) = (-4, 3, -3)

AC = C - A = (-4 + 2, 0 - 0, 12.67 - 1) = (-2, 0, 11.67)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

AB x AC = |i j k|

|-4 3 -3|

|-2 0 11.67|

Вычисляем определитель:

i(3 * 11.67 - 0 * -3) - j(-4 * 11.67 - -3 * -2) + k(-4 * 0 - 3 * -2)

Это дает:

i(35.01) - j(-46.68) + k(6)

Теперь найдем модуль векторного произведения:

Модуль = √(35.01² + 46.68² + 6²) = √(1225.70 + 2176.41 + 36) = √(3438.11)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, делим модуль векторного произведения на 2:

Площадь = 0.5 * √(3438.11)

Таким образом, мы нашли координаты точки C и площадь треугольника ABC. Если вам нужно более точное значение площади, вы можете использовать калькулятор для вычисления корня.