Как изменится уравнение |х²-2|х||=а в зависимости от значения параметра а?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами уравнение алгебра 11 класс параметр a модуль изменение уравнения решение уравнения график функции Новый

Чтобы понять, как изменится уравнение |х²-2|х||=а в зависимости от значения параметра а, давайте разберем его по частям.

У нас есть модуль, который состоит из двух частей: |х² - 2| и |х|. Рассмотрим, как они влияют на уравнение.

1. Анализ модуля |х|:

• Если х ≥ 0, то |х| = х.
• Если х < 0, то |х| = -х.

2. Анализ выражения |х² - 2|:

• Решим неравенство х² - 2 = 0, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак. Это происходит при х = ±√2.
• Таким образом, мы можем разбить ось х на три интервала: (-∞, -√2), (-√2, √2) и (√2, +∞).
• На каждом из этих интервалов |х² - 2| будет принимать разные значения:
• На интервале (-∞, -√2): х² - 2 > 0, значит |х² - 2| = х² - 2.
• На интервале (-√2, √2): х² - 2 < 0, значит |х² - 2| = -(х² - 2) = 2 - х².
• На интервале (√2, +∞): х² - 2 > 0, значит |х² - 2| = х² - 2.

3. Объединение результатов:

Теперь мы можем выразить наше уравнение в зависимости от интервалов:

• Для х < -√2: |х² - 2|х| = (х² - 2)(-х) = -х³ + 2х.
• Для -√2 ≤ х ≤ √2: |х² - 2|х| = (2 - х²)х = 2х - х³.
• Для х > √2: |х² - 2|х| = (х² - 2)х = х³ - 2х.

4. Условия для параметра а:

Теперь, когда мы имеем выражения для каждого интервала, давайте рассмотрим, как значение а влияет на решение уравнения:

• Если а < 0: уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда неотрицательна.
• Если а = 0: уравнение имеет решения, соответствующие точкам, где левая часть равна нулю.
• Если 0 < а < максимальное значение левой части (в зависимости от интервала): уравнение будет иметь два решения, так как график функции пересечет горизонтальную линию y = а.
• Если а больше максимального значения: уравнение не имеет решений, так как левая часть не сможет достичь этого значения.

Таким образом, изменяя значение параметра а, мы можем наблюдать, как количество решений уравнения будет меняться в зависимости от его значения. Это важный аспект, который стоит учитывать при решении подобных уравнений.