Как можно доказать, что для любых натуральных чисел k и n (1 ≤ k ≤ n) выполняется равенство C(n, k) * (n + 1) / (k + 1) = C(n + 1, k + 1)?

Алгебра 11 класс Комбинаторика доказательство равенства комбинаторика биномиальные коэффициенты натуральные числа алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем, как можно доказать равенство:

C(n, k) * (n + 1) / (k + 1) = C(n + 1, k + 1)

Для начала, вспомним, что C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь подставим это в наше равенство. Сначала выразим C(n, k):

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь подставим это в левую часть равенства:

C(n, k) * (n + 1) / (k + 1) = (n! / (k! * (n - k)!)) * (n + 1) / (k + 1)

Теперь упростим левую часть:

1. Перепишем (n + 1) как (n + 1)! / n!:

(n! / (k! * (n - k)!)) * ((n + 1)! / n!) / (k + 1)

2. Сократим n! в числителе и знаменателе:

=(n + 1)! / (k! * (n - k)! * (k + 1))

3. Теперь заметим, что (k + 1) можно выразить как (k + 1)! / k!:

=(n + 1)! / ((k + 1)! * (n - k)!)

Теперь мы видим, что это выражение эквивалентно C(n + 1, k + 1), так как:

C(n + 1, k + 1) = (n + 1)! / ((k + 1)! * (n + 1 - (k + 1))!) = (n + 1)! / ((k + 1)! * (n - k)!)

Таким образом, мы доказали, что:

C(n, k) * (n + 1) / (k + 1) = C(n + 1, k + 1)

Это равенство действительно для любых натуральных чисел k и n, удовлетворяющих условию 1 ≤ k ≤ n.