Похожие вопросы
2025-09-10 19:02:53
Как можно доказать, что если x > -1, то выполняется неравенство (1+x)^n > 1+nx при условии, что n > 1?
Алгебра 11 класс Неравенства и их свойства доказать неравенство алгебра 11 класс x > -1 (1+x)^n 1+nx условие n > 1 математический анализ свойства неравенств алгебраические выражения
2025-09-10 19:03:05
Чтобы доказать неравенство (1+x)^n > 1+nx при условии, что x > -1 и n > 1, мы можем воспользоваться методом математической индукции или применить неравенство Бинома. В данном случае я объясню, как использовать неравенство Бинома.
Шаг 1: Запишем разложение по Биному
Согласно биномиальной теореме, выражение (1+x)^n можно разложить следующим образом:
(1+x)^n = C(n, 0) * x^0 + C(n, 1) * x^1 + C(n, 2) * x^2 + ... + C(n, n) * x^n,
где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!).
Шаг 2: Сравнение с 1 + nx
Теперь сравним это выражение с 1 + nx:
1 + nx = C(n, 0) * x^0 + C(n, 1) * x^1.
Таким образом, мы видим, что (1+x)^n содержит больше членов, чем 1 + nx, и все коэффициенты перед x в разложении (1+x)^n для k >= 2 положительны, так как n > 1 и x > -1.
Шаг 3: Анализ дополнительных членов
Теперь обратим внимание на члены, которые присутствуют в (1+x)^n, но отсутствуют в 1 + nx:
- C(n, 2) * x^2
- C(n, 3) * x^3
- ...
- C(n, n) * x^n
Поскольку n > 1 и x > -1, каждый из этих дополнительных членов будет положительным, что указывает на то, что:
(1+x)^n > 1 + nx.
Шаг 4: Заключение
Таким образом, мы доказали, что для любого x > -1 и n > 1 выполняется неравенство (1+x)^n > 1 + nx. Это происходит благодаря тому, что дополнительные положительные члены в разложении по Биному делают значение (1+x)^n больше, чем 1 + nx.