Чтобы доказать, что функция F(x) = e^(3x) + cos(x) + x является первообразной функции f(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1 на всей числовой прямой, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить производную функции F(x):

Для этого мы воспользуемся правилами дифференцирования.

• Производная экспоненты: (e^(kx))' = k * e^(kx), где k - константа.
• Производная косинуса: (cos(x))' = -sin(x).
• Производная x: (x)' = 1.

Теперь найдем производную F(x):

F'(x) = (e^(3x))' + (cos(x))' + (x)' = 3e^(3x) - sin(x) + 1.

2. Сравнить полученную производную с функцией f(x):

Мы видим, что:

F'(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1 = f(x).

3. Заключение:

Так как производная F(x) равна f(x) для любого x на числовой прямой, это означает, что F(x) является первообразной для функции f(x).

Таким образом, мы доказали, что F(x) = e^(3x) + cos(x) + x является первообразной функции f(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1 на всей числовой прямой.