Как можно доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой в следующих случаях:

1. F(x) = 1 - e^(-x), f(x) = e^(-x)
2. F(x) = 3e^(x/3), f(x) = e^(x/3)
3. F(x) = cos(3x) - 5, f(x) = -3sin(3x)

Алгебра 11 класс Первообразные и интегралы алгебра 11 класс первообразная функция доказательство f(x) числовая прямая e^(-x) e^(x/3) cos(3x) sin(3x) Новый

Привет! Давай разберемся, как показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x). По сути, это значит, что нам нужно найти производную функции F(x) и убедиться, что она равна f(x). Давай по порядку!

1. F(x) = 1 - e^(-x), f(x) = e^(-x)

• Находим производную F(x):
• F'(x) = 0 - (-e^(-x)) = e^(-x)
• Сравниваем с f(x): f(x) = e^(-x)
• Получается, что F'(x) = f(x). Значит, F(x) является первообразной для f(x).

2. F(x) = 3e^(x/3), f(x) = e^(x/3)

• Находим производную F(x):
• F'(x) = 3 * (1/3)e^(x/3) = e^(x/3)
• Сравниваем с f(x): f(x) = e^(x/3)
• Опять же, получается, что F'(x) = f(x). Значит, F(x) является первообразной для f(x).

3. F(x) = cos(3x) - 5, f(x) = -3sin(3x)

• Находим производную F(x):
• F'(x) = -3sin(3x)
• Сравниваем с f(x): f(x) = -3sin(3x)
• Снова видим, что F'(x) = f(x). Значит, F(x) является первообразной для f(x).

Вот так просто! Если производная F(x) совпадает с f(x), то мы можем смело сказать, что F(x) является первообразной для f(x). Надеюсь, это помогло!