Как можно доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой, если F(x) = 3/4cos(4x) - 2, а f(x) = -3sin(4x)?

Алгебра 11 класс Первообразные и интегралы доказательство первообразной функция f(x) числовая прямая алгебра 11 класс интегралы производные тригонометрические функции свойства функций математический анализ Новый

Ответ:

Для того чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нам необходимо найти производную функции F(x) и показать, что она равна функции f(x).

Дано:

• F(x) = (3/4)cos(4x) - 2
• f(x) = -3sin(4x)

Теперь найдем производную F(x) по x. Мы будем использовать правило дифференцирования для тригонометрических функций:

1. Производная cos(4x) равна -4sin(4x) (по правилу цепочки).

Теперь применим это правило к функции F(x):

1. F'(x) = d/dx[(3/4)cos(4x)] - d/dx[2]
2. Производная константы (-2) равна 0.
3. Теперь вычислим производную первой части:
4. F'(x) = (3/4) * (-4sin(4x)) = -3sin(4x).

Таким образом, мы получили:

F'(x) = -3sin(4x).

Теперь сравним полученную производную с функцией f(x):

f(x) = -3sin(4x).

Мы видим, что F'(x) = f(x). Это означает, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой.

Таким образом, мы доказали, что F(x) = (3/4)cos(4x) - 2 является первообразной для f(x) = -3sin(4x).