Похожие вопросы
2025-03-21 20:48:01
Как можно доказать, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x)?
Алгебра 11 класс Первообразные и интегралы доказательство первообразной функция y = x^3 функция y = 3x^2 синус и косинус алгебра 11 класс математический анализ производная функции интеграция функций
2025-03-21 20:48:13
Чтобы доказать, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x), нам нужно найти производную первой функции и показать, что она равна второй функции.
Шаги решения:
- Найдём производную функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5.
- Первая часть: производная от x^3 равна 3x^2.
- Вторая часть: для (1/3)sin^3(x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала найдём производную sin^3(x):
- Используем правило производной: (u^n)' = n*u^(n-1)*u', где u = sin(x) и n = 3.
- Тогда (sin^3(x))' = 3*sin^2(x)*cos(x).
- Теперь умножим на (1/3): (1/3)(sin^3(x))' = (1/3)*3*sin^2(x)*cos(x) = sin^2(x)*cos(x).
- Третья часть: производная от -5 равна 0.
- Теперь соберём все части вместе:
- Производная функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 равна:
- 3x^2 + sin^2(x)cos(x).
Таким образом, мы нашли, что производная функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 равна 3x^2 + sin^2(x)cos(x), что совпадает с заданной функцией y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x).
Следовательно, мы доказали, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x).
