Как можно доказать, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x)?

Алгебра 11 класс Первообразные и интегралы доказательство первообразной функция y = x^3 функция y = 3x^2 синус и косинус алгебра 11 класс математический анализ производная функции интеграция функций Новый

Чтобы доказать, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x), нам нужно найти производную первой функции и показать, что она равна второй функции.

Шаги решения:

1. Найдём производную функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5.
• Первая часть: производная от x^3 равна 3x^2.
• Вторая часть: для (1/3)sin^3(x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала найдём производную sin^3(x):
• Используем правило производной: (u^n)' = n*u^(n-1)*u', где u = sin(x) и n = 3.
• Тогда (sin^3(x))' = 3*sin^2(x)*cos(x).
• Теперь умножим на (1/3): (1/3)(sin^3(x))' = (1/3)*3*sin^2(x)*cos(x) = sin^2(x)*cos(x).
• Третья часть: производная от -5 равна 0.
2. Теперь соберём все части вместе:
• Производная функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 равна:
• 3x^2 + sin^2(x)cos(x).

Таким образом, мы нашли, что производная функции y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 равна 3x^2 + sin^2(x)cos(x), что совпадает с заданной функцией y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x).

Следовательно, мы доказали, что функция y = x^3 + (1/3)sin^3(x) - 5 является первообразной для функции y = 3x^2 + sin^2(x)cos(x).