Как можно доказать следующее равенство: cos^2a + 2sin^2a + sin^2a * tg^2a = 1/cos^2a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества доказать равенство алгебра 11 класс тригонометрические функции cos^2a sin^2a tg^2a математические доказательства равенства в алгебре Новый

Чтобы доказать равенство cos²a + 2sin²a + sin²a * tg²a = 1/cos²a, начнем с левой части уравнения и попробуем преобразовать её так, чтобы она совпала с правой частью.

1. Напомним, что tg a = sin a / cos a. Поэтому tg²a = (sin²a / cos²a).

2. Подставим tg²a в наше выражение:

• sin²a * tg²a = sin²a * (sin²a / cos²a) = sin^4a / cos²a.

3. Теперь подставим это в левую часть равенства:

• cos²a + 2sin²a + sin²a * tg²a = cos²a + 2sin²a + sin^4a / cos²a.

4. Теперь объединим все элементы в одно выражение, используя общий знаменатель:

• Общий знаменатель будет cos²a. Поэтому:
• cos²a = cos²a * (cos²a / cos²a) = cos^4a / cos²a.
• 2sin²a = 2sin²a * (cos²a / cos²a) = 2sin²a * cos²a / cos²a.

5. Теперь у нас есть:

• cos²a + 2sin²a + sin^4a / cos²a = (cos^4a + 2sin²a * cos²a + sin^4a) / cos²a.

6. Теперь упростим числитель:

• cos^4a + 2sin²a * cos²a + sin^4a = (cos²a + sin²a)².

7. По известной тригонометрической идентичности мы знаем, что cos²a + sin²a = 1. Следовательно:

• (cos²a + sin²a)² = 1² = 1.

8. Таким образом, числитель равен 1, и мы получаем:

• (cos^4a + 2sin²a * cos²a + sin^4a) / cos²a = 1 / cos²a.

Итак, мы доказали, что cos²a + 2sin²a + sin²a * tg²a = 1/cos²a.