Давайте сначала докажем тождество: 4 sin(альфа) * cos³(альфа) - 2 sin(2 альфа) * sin²(альфа) = sin(4 альфа).

1. Начнем с левой части тождества: 4 sin(альфа) * cos³(альфа) - 2 sin(2 альфа) * sin²(альфа).

2. Напомним, что sin(2 альфа) = 2 sin(альфа) * cos(альфа). Подставим это в выражение:

• Левая часть: 4 sin(альфа) * cos³(альфа) - 2 * (2 sin(альфа) * cos(альфа)) * sin²(альфа)
• Упрощаем: 4 sin(альфа) * cos³(альфа) - 4 sin(альфа) * cos(альфа) * sin²(альфа)

3. Вынесем общий множитель 4 sin(альфа):

• 4 sin(альфа) * (cos³(альфа) - cos(альфа) * sin²(альфа))

4. Теперь упростим выражение в скобках. Используем формулу cos²(альфа) = 1 - sin²(альфа):

• cos(альфа) * sin²(альфа) = cos(альфа) * (1 - cos²(альфа)) = cos(альфа) - cos³(альфа)

5. Подставим это обратно:

• 4 sin(альфа) * (cos³(альфа) - (cos(альфа) - cos³(альфа)))
• 4 sin(альфа) * (2 cos³(альфа) - cos(альфа))

6. Теперь воспользуемся формулой для sin(4 альфа) = 2 sin(2 альфа) cos(2 альфа) и вспомним, что sin(2 альфа) = 2 sin(альфа) cos(альфа):

• sin(4 альфа) = 2 * (2 sin(альфа) cos(альфа)) * (2 cos²(альфа) - 1)

7. В результате получаем, что обе части равны, и тождество доказано.

Теперь перейдем ко второму вопросу: упростим выражение 1 + cos(2 альфа) + 2sin²(альфа).

1. Напомним, что cos(2 альфа) = 1 - 2sin²(альфа). Подставим это в выражение:

• 1 + (1 - 2sin²(альфа)) + 2sin²(альфа)

2. Упрощаем:

• 1 + 1 - 2sin²(альфа) + 2sin²(альфа) = 2

Таким образом, упрощенное выражение равно 2.

В итоге мы доказали первое тождество и упростили второе выражение. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!