Как можно доказать следующее тождество:

sin2a = (sina + cosa)^2 - 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 класс доказательство тождества sin2a тождество sina cosa тригонометрические функции Новый

Для доказательства тождества sin(2a) = (sin(a) + cos(a))^2 - 1 мы можем использовать известные тригонометрические формулы и свойства функций. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Рассмотрим правую часть тождества:

   Мы начнем с выражения (sin(a) + cos(a))^2 - 1.

   Раскроем квадрат:

   • (sin(a) + cos(a))^2 = sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a)

   Теперь, используя основное тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем заменить sin^2(a) + cos^2(a) на 1:

   • sin^2(a) + cos^2(a) = 1
   • (sin(a) + cos(a))^2 = 1 + 2sin(a)cos(a)

   Теперь подставим это в наше выражение:

   • (sin(a) + cos(a))^2 - 1 = (1 + 2sin(a)cos(a)) - 1 = 2sin(a)cos(a)
2. Теперь сравним с левой частью тождества:

   Левая часть тождества - это sin(2a). По формуле двойного угла для синуса мы знаем, что:

   • sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
3. Сравним обе части:

   Мы получили:

   • Правая часть: 2sin(a)cos(a)
   • Левая часть: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

   Таким образом, обе стороны равны:

   • sin(2a) = (sin(a) + cos(a))^2 - 1

Итак, мы доказали, что sin(2a) = (sin(a) + cos(a))^2 - 1 является верным тождеством.