Как можно доказать тождество: cos^2 альфа(1+tg^2 альфа)-sin^2 альфа=cos^2 альфа?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества доказать тождество алгебра 11 класс косинус и синус тригонометрические тождества математические доказательства Новый

Для доказательства тождества cos²(α)(1 + tg²(α)) - sin²(α) = cos²(α) мы можем использовать основные тригонометрические идентичности. Начнем с левой части тождества и упростим её шаг за шагом.

1. Запишем определение тангенса: tg(α) = sin(α) / cos(α). Тогда tg²(α) = sin²(α) / cos²(α).

2. Подставим это выражение в левую часть тождества:

   cos²(α)(1 + tg²(α)) = cos²(α)(1 + sin²(α) / cos²(α))

3. Теперь упростим выражение внутри скобок:

   1 + sin²(α) / cos²(α) = (cos²(α) + sin²(α)) / cos²(α)

4. Используем основное тригонометрическое тождество: cos²(α) + sin²(α) = 1. Таким образом, мы получаем:

   (cos²(α) + sin²(α)) / cos²(α) = 1 / cos²(α)

5. Теперь подставим это обратно в наше выражение:

   cos²(α) * (1 / cos²(α)) = 1

6. Теперь у нас есть:

   1 - sin²(α)

7. По основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что:

   1 - sin²(α) = cos²(α)

8. Таким образом, мы доказали, что:

   cos²(α)(1 + tg²(α)) - sin²(α) = cos²(α)

Следовательно, тождество верно.