Как можно доказать тождество cos^4a - sin^4a = cos2a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества тождество косинуса и синуса доказательство алгебра cos^4a - sin^4a cos2a алгебра 11 класс Новый

Для доказательства тождества cos^4(a) - sin^4(a) = cos(2a) мы будем использовать формулы алгебры и тригонометрии. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Сначала заметим, что выражение cos^4(a) - sin^4(a) можно представить в виде разности квадратов. Мы знаем, что x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). В нашем случае x = cos^2(a) и y = sin^2(a).

2. Применим формулу разности квадратов:

   • cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a) - sin^2(a))(cos^2(a) + sin^2(a))

3. Теперь, используя известное тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1, мы можем упростить наше выражение:

   • cos^4(a) - sin^4(a) = (cos^2(a) - sin^2(a)) * 1 = cos^2(a) - sin^2(a)

4. Теперь нам нужно выразить cos^2(a) - sin^2(a) через cos(2a). Мы знаем, что:

   • cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

5. Таким образом, мы можем заменить cos^2(a) - sin^2(a) на cos(2a):

   • cos^4(a) - sin^4(a) = cos(2a)

В результате мы доказали, что cos^4(a) - sin^4(a) = cos(2a). Это завершает доказательство тождества.