Как можно исследовать функцию 0.5x^4-8x^2, включая:

1. определение, является ли она четной или нечетной;
2. поиск точек пересечения с осями координат:
• с осью x;
• с осью y;
3. анализ монотонности и нахождение экстремумов;
4. изучение ее выпуклости и вогнутости.

Помогите, очень нужно!

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции чётная или нечётная функция точки пересечения с осями ось X ось Y анализ монотонности нахождение экстремумов выпуклость и вогнутость функции

Давай исследуем функцию f(x) = 0.5x^4 - 8x^2 с энтузиазмом и радостью! Это увлекательное путешествие в мир математики!

1. Определение четности или нечетности

Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, мы проверим, выполняется ли следующее:

• f(-x) = f(x) (четная функция)
• f(-x) = -f(x) (нечетная функция)

Подставим -x в нашу функцию:

f(-x) = 0.5(-x)^4 - 8(-x)^2 = 0.5x^4 - 8x^2 = f(x)

Таким образом, функция четная!

2. Поиск точек пересечения с осями координат

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

С осью X:

Для нахождения точек пересечения с осью X, приравняем функцию к нулю:

0.5x^4 - 8x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

0.5x^2(x^2 - 16) = 0

Отсюда получаем:

• x^2 = 0 → x = 0
• x^2 - 16 = 0 → x = ±4

Таким образом, точки пересечения с осью X: (0, 0), (4, 0), (-4, 0).

С осью Y:

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим x = 0:

f(0) = 0.5(0)^4 - 8(0)^2 = 0

Точка пересечения с осью Y: (0, 0).

3. Анализ монотонности и нахождение экстремумов

Теперь найдем производную функции и проанализируем ее:

f'(x) = 2x^3 - 8x

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

2x(x^2 - 4) = 0

• x = 0
• x = ±2

Теперь проверим знак производной на интервалах:

• Для x < -2: f'(-3) > 0 (возрастает)
• Для -2 < x < 0: f'(-1) < 0 (убывает)
• Для 0 < x < 2: f'(1) < 0 (убывает)
• Для x > 2: f'(3) > 0 (возрастает)

Таким образом, мы видим, что:

• Экстремум в x = -2 (максимум)
• Экстремум в x = 0 (минимум)
• Экстремум в x = 2 (максимум)

4. Изучение выпуклости и вогнутости

Теперь найдем вторую производную:

f''(x) = 6x^2 - 8

Приравняем ее к нулю:

6x^2 - 8 = 0 → x^2 = 4 → x = ±2/√3

Теперь проверим знак второй производной:

• Для x < -2/√3: f''(-1) < 0 (вогнутость)
• Для -2/√3 < x < 2/√3: f''(0) < 0 (вогнутость)
• Для x > 2/√3: f''(1) > 0 (выпуклость)

Таким образом, функция вогнута на интервале (-∞, -2/√3) и (-2/√3, 2/√3), и выпукла на интервале (2/√3, +∞).

Вот и всё! Мы исследовали функцию f(x) = 0.5x^4 - 8x^2 с радостью и энтузиазмом! Успехов тебе в учебе!

Давайте исследовать функцию f(x) = 0.5x^4 - 8x^2 шаг за шагом.

1. Определение четности или нечетности функции:

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить следующие условия:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x.
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x) для всех x.

Подставим -x в функцию:

f(-x) = 0.5(-x)^4 - 8(-x)^2 = 0.5x^4 - 8x^2 = f(x).

Так как f(-x) = f(x), функция четная.

2. Поиск точек пересечения с осями координат:

С осью Y:

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим x = 0:

f(0) = 0.5(0)^4 - 8(0)^2 = 0.

Таким образом, точка пересечения с осью Y: (0, 0).

С осью X:

Чтобы найти точки пересечения с осью X, решим уравнение f(x) = 0:

0.5x^4 - 8x^2 = 0.

Вынесем общий множитель:

0.5x^2(x^2 - 16) = 0.

Это уравнение равно нулю, если 0.5x^2 = 0 или x^2 - 16 = 0.

• 0.5x^2 = 0 => x = 0.
• x^2 - 16 = 0 => x = ±4.

Таким образом, точки пересечения с осью X: (0, 0), (4, 0) и (-4, 0).

3. Анализ монотонности и нахождение экстремумов:

Для анализа монотонности найдем производную функции:

f'(x) = 2x^3 - 16x.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

2x(x^2 - 8) = 0.

• 2x = 0 => x = 0.
• x^2 - 8 = 0 => x = ±√8 = ±2√2.

Критические точки: x = 0, x = 2√2, x = -2√2.

Теперь исследуем знак производной на интервалах:

• (-∞, -2√2): f' < 0 (убывающая).
• (-2√2, 0): f' > 0 (возрастающая).
• (0, 2√2): f' < 0 (убывающая).
• (2√2, +∞): f' > 0 (возрастающая).

Таким образом, функция имеет максимумы в точках x = -2√2 и x = 2√2.

4. Изучение выпуклости и вогнутости:

Для анализа выпуклости найдем вторую производную:

f''(x) = 6x^2 - 16.

Приравняем вторую производную к нулю:

6x^2 - 16 = 0 => x^2 = 16/3 => x = ±√(16/3) = ±4/√3.

Теперь исследуем знак второй производной:

• (-∞, -4/√3): f'' < 0 (вогнутая).
• (-4/√3, 4/√3): f'' > 0 (выпуклая).
• (4/√3, +∞): f'' < 0 (вогнутая).

Таким образом, функция вогнута на интервалах (-∞, -4/√3) и (4/√3, +∞), а выпукла на интервале (-4/√3, 4/√3).

В итоге, мы исследовали функцию f(x) = 0.5x^4 - 8x^2 и нашли, что она четная, имеет точки пересечения с осями координат (0, 0), (4, 0), (-4, 0), а также экстремумы и интервалы выпуклости и вогнутости.