Чтобы исследовать функцию F(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5, мы можем выполнить несколько шагов, которые помогут нам понять её поведение, такие как нахождение производной, определение критических точек, исследование знака производной и построение графика функции. Давайте рассмотрим эти шаги подробнее.

Первым шагом будет нахождение производной функции F(x). Мы используем правило дифференцирования для многочленов:

• F'(x) = 3x^2 - 6x + 1

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае мы равняем производную нулю:

• 3x^2 - 6x + 1 = 0

Теперь решим это уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 3 * 1 = 36 - 12 = 24

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

• x1 = (6 + √24) / 6 = 1 + √2
• x2 = (6 - √24) / 6 = 1 - √2

Теперь мы исследуем, где производная положительна, а где отрицательна. Для этого нам нужно определить интервалы:

• Выбираем тестовые точки в интервалах: (-∞, 1 - √2), (1 - √2, 1 + √2), (1 + √2, +∞)

Подставляем тестовые точки в F'(x):

• Для x = 0 (интервал (-∞, 1 - √2)): F'(0) = 1 > 0 (функция возрастает)
• Для x = 1 (интервал (1 - √2, 1 + √2)): F'(1) = -2 < 0 (функция убывает)
• Для x = 3 (интервал (1 + √2, +∞)): F'(3) = 4 > 0 (функция возрастает)

Из анализа производной мы видим, что в точке x = 1 - √2 функция имеет локальный максимум, а в точке x = 1 + √2 — локальный минимум.

Теперь найдем значения функции F(x) в этих критических точках:

• F(1 - √2) и F(1 + √2)

Функция F(x) является нечетной, так как степень старшего члена нечётная. Также мы можем исследовать поведение функции при x → ±∞:

• При x → +∞, F(x) → +∞
• При x → -∞, F(x) → -∞

Собрав всю информацию, мы можем построить график функции, отмечая критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также поведение на бесконечностях.

Таким образом, мы завершили исследование функции F(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5. Вы можете использовать полученные данные для построения графика и дальнейшего анализа.