Для исследования функции f(x) = x³ - 3x на монотонность, экстремумы и построения графика, выполните следующие шаги:

Для начала необходимо найти первую производную функции f(x). Это позволит определить, где функция возрастает и убывает.

1. f'(x) = 3x² - 3.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. В нашем случае производная определена для всех x, поэтому решим уравнение f'(x) = 0:

1. 3x² - 3 = 0
2. x² - 1 = 0
3. (x - 1)(x + 1) = 0
4. Таким образом, критические точки: x = -1 и x = 1.

Теперь найдем интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Для этого выберем тестовые точки в интервалах, определенных критическими точками:

• Интервал (-∞, -1): выберем x = -2. f'(-2) = 3(-2)² - 3 = 9 - 3 = 6 (положительно, функция возрастает).
• Интервал (-1, 1): выберем x = 0. f'(0) = 3(0)² - 3 = -3 (отрицательно, функция убывает).
• Интервал (1, ∞): выберем x = 2. f'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно, функция возрастает).

Теперь, зная знаки производной, можно определить тип экстремумов:

• В точке x = -1: производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это максимум.
• В точке x = 1: производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это минимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

1. f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2.
2. f(1) = (1)³ - 3(1) = 1 - 3 = -2.

Теперь, зная критические точки и их значения, можно построить график функции. У нас есть:

• Максимум в точке (-1, 2).
• Минимум в точке (1, -2).

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -1).
• Функция убывает на интервале (-1, 1).
• Функция снова возрастает на интервале (1, ∞).

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = x³ - 3x на монотонность, экстремумы и построили ее график. Если у вас есть доступ к графическому редактору, вы можете визуализировать этот график, отмечая критические точки и поведение функции на различных интервалах.