Как можно исследовать функцию f(x)=x³-3x на монотонность, экстремумы и построить её график?

Алгебра 11 класс Исследование функций функция f(x)=x³-3x исследование монотонности экстремумы функции график функции алгебра анализ функции математический анализ Новый

Чтобы исследовать функцию f(x) = x³ - 3x на монотонность, экстремумы и построить её график, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем производную функции.

Сначала найдем первую производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция возрастает и убывает.

1. f'(x) = 3x² - 3

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Для нашего случая:

1. 3x² - 3 = 0
2. x² = 1
3. x = ±1

3. Определим знаки производной.

Теперь мы должны определить знаки производной на интервалах, которые образуются критическими точками. У нас есть три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, 1)
• (1, ∞)

Теперь подберем тестовые точки для каждого интервала:

1. Для интервала (-∞, -1), возьмем x = -2: f'(-2) = 3(-2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно)
2. Для интервала (-1, 1), возьмем x = 0: f'(0) = 3(0)² - 3 = -3 (отрицательно)
3. Для интервала (1, ∞), возьмем x = 2: f'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно)

4. Определим монотонность функции.

На основе знаков производной мы можем сделать выводы о монотонности:

• На интервале (-∞, -1) функция возрастает.
• На интервале (-1, 1) функция убывает.
• На интервале (1, ∞) функция снова возрастает.

5. Найдем экстремумы.

Теперь мы можем определить экстремумы функции:

• В точке x = -1 функция достигает максимума.
• В точке x = 1 функция достигает минимума.

6. Найдем значения функции в критических точках.

Теперь найдем значения функции в этих критических точках:

1. f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2 (максимум)
2. f(1) = (1)³ - 3(1) = 1 - 3 = -2 (минимум)

7. Построим график функции.

Теперь, имея информацию о монотонности и экстремумах, мы можем построить график функции. У нас есть:

• Максимум в точке (-1, 2)
• Минимум в точке (1, -2)

График функции будет иметь форму кубической параболы, которая возрастает на интервале (-∞, -1), убывает на интервале (-1, 1) и снова возрастает на интервале (1, ∞).

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = x³ - 3x на монотонность, нашли её экстремумы и можем построить её график, основываясь на полученных данных.