Для исследования функции f(x) = x^3 + 3x + 2 и построения её графика, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Функция f(x) = x^3 + 3x + 2 является многочленом третьей степени. Многочлены определены для всех значений x, поэтому область определения:

Область определения: R (все действительные числа)

Чтобы исследовать функцию, нам необходимо найти её производную:

• f'(x) = 3x^2 + 3

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• 3x^2 + 3 = 0
• x^2 = -1

Так как уравнение x^2 = -1 не имеет действительных решений, то критических точек нет.

Поскольку производная f'(x) = 3x^2 + 3 всегда положительна (так как 3x^2 всегда неотрицательно, а 3 добавляет положительное значение), функция f(x) является возрастающей на всей области определения.

Чтобы понять поведение функции, найдем её значения в некоторых ключевых точках:

• f(-2) = (-2)^3 + 3*(-2) + 2 = -8 - 6 + 2 = -12
• f(-1) = (-1)^3 + 3*(-1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2
• f(0) = 0^3 + 3*0 + 2 = 2
• f(1) = 1^3 + 3*1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
• f(2) = 2^3 + 3*2 + 2 = 8 + 6 + 2 = 16

Исследуем поведение функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → -∞, f(x) → -∞
• При x → +∞, f(x) → +∞

Теперь, когда мы знаем, что функция возрастает на всей области определения, и имеем некоторые значения функции, мы можем построить график:

• Точки: (-2, -12), (-1, -2), (0, 2), (1, 6), (2, 16)
• Функция будет начинаться внизу (при x → -∞) и подниматься вверх (при x → +∞), проходя через указанные точки.

Собрав все эти данные, мы можем нарисовать график функции, который будет представлять собой плавную возрастающую кривую, проходящую через найденные точки.