Как можно исследовать функцию y=2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы? Также, как построить график этой функции?

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции монотонность экстремумы график функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы исследовать функцию y = 2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции

Первым делом, мы находим первую производную функции. Это позволит нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

y' = d/dx (2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x.

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

6x^2 - 6x = 0.

Теперь вынесем общий множитель:

6x(x - 1) = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

• x = 0,
• x = 1.

Шаг 3: Исследуем знаки производной

Теперь нам нужно определить знаки производной на интервалах, которые образуются критическими точками. Мы рассмотрим интервалы: (-∞, 0), (0, 1) и (1, +∞).

1. Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1.

y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 (положительно).

2. Для интервала (0, 1): выберем, например, x = 0.5.

y'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 (положительно).

3. Для интервала (1, +∞): выберем, например, x = 2.

y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 (положительно).

Шаг 4: Определяем монотонность

Теперь мы можем сделать вывод о монотонности функции:

• На интервале (-∞, 0) функция возрастает.
• На интервале (0, 1) функция также возрастает.
• На интервале (1, +∞) функция продолжает возрастать.

Таким образом, функция не имеет интервалов убывания и не имеет экстремумов, так как производная не меняет знак.

Шаг 5: Построение графика функции

Для построения графика функции y = 2x^3 - 3x^2, можно использовать следующие точки:

• Найти значение функции в критических точках: y(0) = 0 и y(1) = -1.
• Также стоит вычислить значения функции в других точках, например, y(-1) и y(2):
• y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 = -2 - 3 = -5,
• y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 = 16 - 12 = 4.

Теперь у нас есть несколько точек: (-1, -5), (0, 0), (1, -1) и (2, 4). Вы можете нанести эти точки на координатную плоскость и провести плавную кривую, соединяющую их, чтобы получить график функции.

Таким образом, мы исследовали функцию на монотонность и экстремумы и построили график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!