Исследование функции y = 8/(16 - x^2) можно провести по нескольким пунктам. Давайте разберем все шаги подробно.

Для функции y = 8/(16 - x^2) необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Это значит, что:

• 16 - x^2 ≠ 0

Решим неравенство:

• x^2 ≠ 16
• x ≠ ±4

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ ±4.

Теперь найдем производную функции с использованием правила деления. Производная y' будет равна:

• y' = -8 * (-2x) / (16 - x^2)^2 = 16x / (16 - x^2)^2

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

• 16x = 0
• x = 0

Также необходимо проверить, где производная не существует. Это происходит, когда знаменатель равен нулю, то есть для x = ±4. Но эти точки не входят в область определения.

Теперь исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -4): y' < 0 (функция убывает)
• Интервал (-4, 0): y'> 0 (функция возрастает)
• Интервал (0, 4): y'> 0 (функция возрастает)
• Интервал (4, ∞): y' < 0 (функция убывает)

Находим значение функции в критической точке x = 0:

• y(0) = 8/(16 - 0^2) = 8/16 = 0.5

Исследуем поведение функции при стремлении x к ±4:

• lim (x → 4) y = +∞
• lim (x → -4) y = +∞

Это говорит о том, что в точках x = ±4 у нас есть вертикальные асимптоты.

На основе всех собранных данных можно построить график функции. Мы знаем, что:

• Функция убывает на интервале (-∞, -4) и (4, ∞)
• Функция возрастает на интервале (-4, 0) и (0, 4)
• Функция имеет горизонтальную асимптоту на уровне y = 0 (при x → ±∞)

Таким образом, мы исследовали функцию y = 8/(16 - x^2) и получили полное представление о ее поведении. Теперь вы можете использовать эти шаги для анализа других функций!