Как можно исследовать функцию y=8/(16-x^2) по пунктам? Помогите, пожалуйста, я не понимаю, что делать после нахождения производной.

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции алгебра 11 класс производная функции анализ функции график функции точки экстремума поведение функции асимптоты область определения модули функции Новый

Исследование функции y = 8/(16 - x^2) можно провести по нескольким пунктам. Давайте разберем все шаги подробно.

1. Определение области определения функции:

Для функции y = 8/(16 - x^2) необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Это значит, что:

• 16 - x^2 ≠ 0

Решим неравенство:

• x^2 ≠ 16
• x ≠ ±4

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ ±4.

2. Нахождение производной:

Теперь найдем производную функции с использованием правила деления. Производная y' будет равна:

• y' = -8 * (-2x) / (16 - x^2)^2 = 16x / (16 - x^2)^2

3. Нахождение критических точек:

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

• 16x = 0
• x = 0

Также необходимо проверить, где производная не существует. Это происходит, когда знаменатель равен нулю, то есть для x = ±4. Но эти точки не входят в область определения.

4. Исследование знака производной:

Теперь исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -4): y' < 0 (функция убывает)
• Интервал (-4, 0): y' > 0 (функция возрастает)
• Интервал (0, 4): y' > 0 (функция возрастает)
• Интервал (4, ∞): y' < 0 (функция убывает)

5. Нахождение значений функции в критических точках:

Находим значение функции в критической точке x = 0:

• y(0) = 8/(16 - 0^2) = 8/16 = 0.5

6. Определение пределов:

Исследуем поведение функции при стремлении x к ±4:

• lim (x → 4) y = +∞
• lim (x → -4) y = +∞

Это говорит о том, что в точках x = ±4 у нас есть вертикальные асимптоты.

7. Построение графика функции:

На основе всех собранных данных можно построить график функции. Мы знаем, что:

• Функция убывает на интервале (-∞, -4) и (4, ∞)
• Функция возрастает на интервале (-4, 0) и (0, 4)
• Функция имеет горизонтальную асимптоту на уровне y = 0 (при x → ±∞)

8. Вывод:

Таким образом, мы исследовали функцию y = 8/(16 - x^2) и получили полное представление о ее поведении. Теперь вы можете использовать эти шаги для анализа других функций!