Как можно исследовать функцию y=x²+2 по следующей схеме:

1. найти область определения;
2. исследовать на чётность и нечётность;
3. найти точки пересечения графика с осями координат;
4. найти критические точки;
5. найти промежутки монотонности;
6. найти точки экстремума и экстремума функции;
7. построить график и, если необходимо, вычислить дополнительные точки.

Алгебра 11 класс Исследование функций функция y=x²+2 область определения чётность и нечётность точки пересечения с осями критические точки промежутки монотонности точки экстремума график функции Новый

Ответ:

Давайте исследуем функцию y = x² + 2 по заданной схеме.

1) Область определения:

Функция y = x² + 2 является полиномиальной, а полиномы определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения этой функции:

D(f) = R (все действительные числа).

2) Чётность/нечётность:

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно сравнить значение функции в точке x и в точке -x:

f(-x) = (-x)² + 2 = x² + 2 = f(x).

Так как f(-x) = f(x), функция является чётной.

3) Точки пересечения с осями координат:

Теперь найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

• С осью Y: подставим x = 0: y = 0² + 2 = 2. Следовательно, график пересекает ось Y в точке (0, 2).
• С осью X: решим уравнение x² + 2 = 0. Здесь x² = -2, что не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Таким образом, график не пересекает ось X.

График пересекает только ось Y в точке (0, 2).

4) Критические точки:

Для нахождения критических точек найдем производную функции:

f'(x) = 2x.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

2x = 0, отсюда x = 0. Это единственная критическая точка.

5) Промежутки монотонности:

Теперь исследуем знак производной:

• f'(x) < 0 при x < 0 (функция убывает);
• f'(x) > 0 при x > 0 (функция возрастает).

Таким образом, функция убывает на промежутке (-∞, 0) и возрастает на промежутке (0, +∞).

6) Точки экстремума и экстремумы функции:

Мы нашли, что в точке x = 0 находится критическая точка. Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(0) = 0² + 2 = 2. Поскольку функция убывает до x = 0 и возрастает после, это означает, что в точке (0, 2) находится минимум функции.

7) Построение графика:

График функции y = x² + 2 представляет собой параболу, направленную ветвями вверх, с вершиной в точке (0, 2). Дополнительные точки для построения графика не требуются, так как мы имеем достаточно информации.

Схематично график будет выглядеть так:

y

^

|

| /'\

| / \

| / \

| / \

2 +-----(0,2)

|

|

----+----+----+---> x

-2 0 2

Таким образом, мы завершили исследование функции y = x² + 2 по заданной схеме.