Как можно исследовать на максимум и минимум функцию: y=-x^2+2x+3?

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции максимум и минимум алгебра 11 класс y=-x^2+2x+3 анализ функции экстремумы функции Новый

Чтобы исследовать функцию y = -x^2 + 2x + 3 на максимум и минимум, мы можем следовать нескольким шагам. Эта функция является квадратичной, и ее график представляет собой параболу. Давайте разберем процесс пошагово.

1. Определение вида параболы:

   Коэффициент при x^2 в данной функции равен -1. Поскольку этот коэффициент отрицателен, парабола открыта вниз. Это означает, что у функции будет максимум, но не будет минимума.

2. Нахождение координат вершины параболы:

   Координаты вершины параболы можно найти по формуле:

   x_0 = -b / (2a),

   где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В нашем случае a = -1 и b = 2.

   Подставляем значения:

   x_0 = -2 / (2 * -1) = 1.

   Теперь найдем значение функции в этой точке:

   y_0 = -1^2 + 2 * 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 4).

3. Анализ функции:

   Так как парабола открыта вниз, точка (1, 4) является максимумом функции. Значение максимума равно 4.

4. Нахождение нулей функции (если необходимо):

   Для нахождения нулей функции можно решить уравнение:

   -x^2 + 2x + 3 = 0.

   Умножим уравнение на -1 для удобства:

   x^2 - 2x - 3 = 0.

   Теперь можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

   x = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

   где a = 1, b = -2, c = -3.

   Подставляем значения:

   x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1) = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.

   Таким образом, получаем два корня:

   x1 = (2 + 4) / 2 = 3,

   x2 = (2 - 4) / 2 = -1.

   Нули функции находятся в точках x = 3 и x = -1.

В итоге, мы исследовали функцию y = -x^2 + 2x + 3 и обнаружили, что она имеет максимум в точке (1, 4) и пересекает ось x в точках x = -1 и x = 3.