Как можно найти корни уравнения 2x^4-7x^3-3x^2+5x-1=0?

Алгебра 11 класс Уравнения высших степеней корни уравнения 2x^4-7x^3-3x^2+5x-1 решение уравнения алгебра 11 класс методы нахождения корней Новый

Чтобы найти корни уравнения 2x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 5x - 1 = 0, мы можем воспользоваться несколькими методами. Рассмотрим пошаговый подход к решению этого уравнения.

Шаг 1: Проверка на наличие рациональных корней

Сначала мы можем попробовать найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители старшего коэффициента.

• Свободный член: -1. Его делители: ±1.
• Старший коэффициент: 2. Его делители: ±1, ±2.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±1/2.

Шаг 2: Подстановка возможных корней

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, являются ли они корнями.

• Для x = 1:
  • 2(1)^4 - 7(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 1 = 2 - 7 - 3 + 5 - 1 = -4 (не корень).
• Для x = -1:
  • 2(-1)^4 - 7(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5(-1) - 1 = 2 + 7 - 3 - 5 - 1 = 0 (корень).
• Для x = 1/2:
  • 2(1/2)^4 - 7(1/2)^3 - 3(1/2)^2 + 5(1/2) - 1 = 2(1/16) - 7(1/8) - 3(1/4) + 5(1/2) - 1 = 0 (корень).

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли корни, мы можем использовать их для деления многочлена. Начнем с деления на (x + 1) и (2x - 1).

При делении 2x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 5x - 1 на (x + 1), мы получаем:

• Результат: 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1.

Теперь делим 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1 на (2x - 1):

• Результат: x^2 - 4x + 1.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение x^2 - 4x + 1 = 0. Мы можем найти его корни с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*1 = 16 - 4 = 12.

Корни будут:

• x1,2 = (4 ± sqrt(12)) / 2 = (4 ± 2sqrt(3)) / 2 = 2 ± sqrt(3).

Шаг 5: Итоговые корни

Таким образом, все корни уравнения 2x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 5x - 1 = 0:

• x1 = -1,
• x2 = 1/2,
• x3 = 2 + sqrt(3),
• x4 = 2 - sqrt(3).

Теперь у вас есть все корни данного уравнения!