Как решить уравнение X^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения высших степеней уравнение решение алгебра x^4 4x^3 -2x^2 -12x +9 ноль корни уравнения методы решения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение X^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9 = 0, мы можем воспользоваться методом разложения на множители или применить теорему Виета. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти корни этого уравнения.

1. Попробуем найти рациональные корни: Для этого используем теорему о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни имеют вид ± делители свободного члена (в данном случае 9) деленные на делители старшего коэффициента (в данном случае 1).
2. Делители числа 9: Это ±1, ±3, ±9. Проверим их поочередно, подставляя в уравнение.

Проверим корни:

• Для x = 1:
  1^4 + 4*1^3 - 2*1^2 - 12*1 + 9 = 1 + 4 - 2 - 12 + 9 = 0.
  Значит, x = 1 является корнем.
• Для x = -1:
  (-1)^4 + 4*(-1)^3 - 2*(-1)^2 - 12*(-1) + 9 = 1 - 4 - 2 + 12 + 9 = 16.
  Не является корнем.
• Для x = 3:
  3^4 + 4*3^3 - 2*3^2 - 12*3 + 9 = 81 + 108 - 18 - 36 + 9 = 144.
  Не является корнем.
• Для x = -3:
  (-3)^4 + 4*(-3)^3 - 2*(-3)^2 - 12*(-3) + 9 = 81 - 108 - 18 + 36 + 9 = 0.
  Значит, x = -3 является корнем.
• Для x = 9:
  9^4 + 4*9^3 - 2*9^2 - 12*9 + 9 = 6561 + 2916 - 162 - 108 + 9 = 9296.
  Не является корнем.
• Для x = -9:
  (-9)^4 + 4*(-9)^3 - 2*(-9)^2 - 12*(-9) + 9 = 6561 - 2916 - 162 + 108 + 9 = 3660.
  Не является корнем.

Таким образом, мы нашли два корня: x = 1 и x = -3.

3. Разложим многочлен на множители: Используя найденные корни, мы можем разложить многочлен:

У нас есть корни 1 и -3, следовательно, мы можем записать:

(x - 1)(x + 3) = 0.

Теперь найдем оставшуюся часть многочлена. Для этого разделим исходное уравнение на (x - 1)(x + 3).

1. Сначала найдем произведение (x - 1)(x + 3):
   (x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3.
2. Теперь разделим исходный многочлен на x^2 + 2x - 3, используя деление многочленов.

После деления мы получим второй множитель, который также будет квадратным уравнением. Решим его, чтобы найти оставшиеся корни.

4. Решаем квадратное уравнение: После деления мы получим уравнение вида x^2 + 2x - 3 = 0. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16.

Корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± 4) / 2.

• x1 = (2) / 2 = 1.
• x2 = (-6) / 2 = -3.

Мы уже нашли эти корни ранее.

Итак, окончательные корни уравнения X^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9 = 0:

• x1 = 1,
• x2 = -3.
• x3 = 1 (дублет),
• x4 = -3 (дублет).

Ответ: x = 1 (двойной корень), x = -3 (двойной корень).