Для решения уравнения x⁴ - 3x³ - 2x² - 6x - 8 = 0 мы можем воспользоваться методом деления многочлена и применить теорему Безу для нахождения корней. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Мы можем проверить делители свободного члена (-8) и ведущего коэффициента (1).

• Делители -8: ±1, ±2, ±4, ±8
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4, ±8.

Теперь проверим каждый из возможных корней, подставляя их в уравнение.

• Для x = 1:

  1⁴ - 3*1³ - 2*1² - 6*1 - 8 = 1 - 3 - 2 - 6 - 8 = -18 (не корень)

• Для x = -1:

  (-1)⁴ - 3*(-1)³ - 2*(-1)² - 6*(-1) - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0 (корень)

• Для x = 2:

  2⁴ - 3*2³ - 2*2² - 6*2 - 8 = 16 - 24 - 8 - 12 - 8 = -36 (не корень)

• Для x = -2:

  (-2)⁴ - 3*(-2)³ - 2*(-2)² - 6*(-2) - 8 = 16 + 24 - 8 + 12 - 8 = 36 (не корень)

• Для x = 4:

  4⁴ - 3*4³ - 2*4² - 6*4 - 8 = 256 - 192 - 32 - 24 - 8 = 0 (корень)

Таким образом, мы нашли два корня: x = -1 и x = 4.

Теперь, когда мы нашли корень x = -1, мы можем выполнить деление многочлена x⁴ - 3x³ - 2x² - 6x - 8 на (x + 1).

После деления мы получим многочлен третьей степени. Далее, мы можем повторить процесс поиска корней для этого многочлена.

Делим полученный многочлен на (x - 4) и находим остальные корни.

После деления мы можем получить оставшийся многочлен, который также можно разложить на множители или использовать методы нахождения корней, такие как формула Виета или численные методы, если это необходимо.

В результате мы найдем все корни уравнения x⁴ - 3x³ - 2x² - 6x - 8 = 0.

Таким образом, полное решение уравнения включает в себя нахождение корней, деление многочленов и дальнейшие вычисления для нахождения всех значений x, которые удовлетворяют данному уравнению.