Как можно найти корни уравнения sin5x + sin x = 2cos3x, которые находятся в промежутке [-3π/2; π/2]? Используйте формулы. Помогите, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии корни уравнения sin5x sinx cos3x промежуток [-3π/2; π/2] формулы алгебры решение уравнения Новый

Для решения уравнения sin(5x) + sin(x) = 2cos(3x) в промежутке [-3π/2; π/2], мы можем использовать некоторые тригонометрические преобразования и формулы. Давайте разберем шаги по порядку.

1. Перепишем уравнение: Мы можем воспользоваться формулой для суммы синусов и преобразовать правую часть уравнения. У нас есть 2cos(3x), что можно представить как 2cos(3x) = sin(π/2 - 3x) + sin(π/2 + 3x).
2. Перепишем уравнение с использованием формул: Мы можем попробовать использовать формулу для суммы двух синусов:
   • sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2).
   Здесь A = 5x и B = x. Таким образом, мы можем преобразовать левую часть:
3. sin(5x) + sin(x) = 2sin((5x + x)/2)cos((5x - x)/2) = 2sin(3x)cos(2x).
4. Теперь у нас есть следующее равенство: 2sin(3x)cos(2x) = 2cos(3x).
5. Упростим уравнение: Мы можем разделить обе стороны на 2 (при условии, что 2 не равно 0): sin(3x)cos(2x) = cos(3x).
6. Переносим все на одну сторону: sin(3x)cos(2x) - cos(3x) = 0.
7. Теперь мы можем использовать формулу для произведения:
   • sin(3x) = 0 или cos(3x) = 0.
8. Решим первое уравнение: sin(3x) = 0 дает:
   • 3x = nπ, где n - целое число.
   • Следовательно, x = nπ/3.
9. Решим второе уравнение: cos(3x) = 0 дает:
   • 3x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.
   • Следовательно, x = (2k + 1)π/6.
10. Теперь мы найдем корни в промежутке [-3π/2; π/2]:
    • Для x = nπ/3: подберем n = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Это даст значения: -5π/3, -4π/3, -π, -2π/3, -π/3, 0, π/3. Из них в промежутке [-3π/2; π/2] подходят: -π, -2π/3, -π/3, 0, π/3.
    • Для x = (2k + 1)π/6: подберем k = -3, -2, -1, 0. Это даст значения: -5π/6, -π/3, -π/6, π/6. Из них в промежутке [-3π/2; π/2] подходят: -5π/6, -π/3, -π/6, π/6.
11. Итак, корни уравнения в промежутке [-3π/2; π/2]:
    • -π
    • -5π/6
    • -2π/3
    • -π/3
    • -π/6
    • 0
    • π/6
    • π/3

Таким образом, мы нашли все корни уравнения в заданном промежутке. Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению, не стесняйтесь спрашивать!