Как решить уравнение:
cos2x=1+cos(п/2-x) и найти все корни, которые принадлежат промежутку [ -п/2 ; 0 ]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии уравнение cos2x решение уравнения корни уравнения промежуток [-п/2; 0] алгебра Тригонометрия Новый

Для решения уравнения cos(2x) = 1 + cos(π/2 - x) начнем с упрощения правой части уравнения.

Шаг 1: Упрощение правой части

Мы знаем, что cos(π/2 - x) = sin(x). Таким образом, уравнение можно переписать как:

cos(2x) = 1 + sin(x)

Шаг 2: Применение формулы для cos(2x)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса двойного угла:

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Также помним, что sin²(x) = 1 - cos²(x). Подставим это в уравнение:

cos²(x) - (1 - cos²(x)) = 1 + sin(x)

Таким образом, у нас получается:

cos²(x) - 1 + cos²(x) = 1 + sin(x)

2cos²(x) - 1 = 1 + sin(x)

Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду

Теперь упростим уравнение:

2cos²(x) - sin(x) - 2 = 0

Шаг 4: Замена переменной

Для удобства, давайте введем замену:

y = cos(x)

Тогда sin(x) = √(1 - y²). Подставим это в уравнение:

2y² - √(1 - y²) - 2 = 0

Шаг 5: Решение уравнения

Это уравнение можно решить численно или графически, но давайте попробуем решить его аналитически. Для этого сначала выразим √(1 - y²):

√(1 - y²) = 2y² - 2

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

1 - y² = (2y² - 2)²

Раскроем скобки:

1 - y² = 4y^4 - 8y² + 4

Теперь приведем все к одной стороне:

4y^4 - 7y² + 3 = 0

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y². Обозначим z = y². У нас получится:

4z² - 7z + 3 = 0

Решим его с помощью формулы дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1

Теперь найдем корни:

z1 = (7 + √1) / (2 * 4) = 8 / 8 = 1

z2 = (7 - √1) / (2 * 4) = 6 / 8 = 0.75

Шаг 7: Находим значение cos(x)

Теперь вернемся к y:

• y² = 1 ⇒ y = ±1
• y² = 0.75 ⇒ y = ±√0.75 = ±√(3/4) = ±√3/2

Шаг 8: Находим x

Теперь найдем x для каждого из найденных значений y:

• cos(x) = 1 ⇒ x = 0
• cos(x) = -1 ⇒ x = π
• cos(x) = √3/2 ⇒ x = ±π/6
• cos(x) = -√3/2 ⇒ x = ±5π/6

Шаг 9: Находим корни в заданном промежутке

Теперь нужно выбрать только те значения x, которые принадлежат промежутку [-π/2; 0]:

• x = 0
• x = -π/6

Ответ: Корни уравнения cos(2x) = 1 + cos(π/2 - x) на промежутке [-π/2; 0]: x = 0 и x = -π/6.