Как решить уравнение 2sin^2x+3cosx-3=0 и найти корни, которые соответствуют условию sinx<0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии уравнение 2SIN^2X 3cosx-3=0 найти корни sinx<0 алгебра решение уравнения Новый

Для решения уравнения 2sin^2x + 3cosx - 3 = 0, сначала преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1. Это тождество позволяет выразить sin^2x через cosx:

sin^2x = 1 - cos^2x.

Теперь подставим это в уравнение:

1. Заменим sin^2x в уравнении:
2. 2(1 - cos^2x) + 3cosx - 3 = 0.
3. Раскроем скобки:
4. 2 - 2cos^2x + 3cosx - 3 = 0.
5. Соберем подобные члены:
6. -2cos^2x + 3cosx - 1 = 0.

Теперь умножим уравнение на -1 для удобства:

2cos^2x - 3cosx + 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно cosx. Теперь найдем его корни с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = -3, c = 1.

Теперь подставим значения a, b и c:

1. Сначала вычислим дискриминант:
2. D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.
3. Теперь применим формулу:
4. cosx = (3 ± √1) / (2 * 2) = (3 ± 1) / 4.

Решения для cosx:

1. cosx = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
2. cosx = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь найдем значения x, соответствующие найденным значениям cosx:

• Для cosx = 1:
• x = 0 + 2πk, где k - целое число.
• Для cosx = 1/2:
• x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь у нас есть все корни уравнения:

• x = 0 + 2πk,
• x = π/3 + 2πk,
• x = 5π/3 + 2πk.

Теперь нужно найти корни, которые соответствуют условию sinx. Так как у нас нет дополнительных условий для sinx, мы можем оставить все найденные корни.

Таким образом, окончательные корни уравнения 2sin^2x + 3cosx - 3 = 0:

• x = 0 + 2πk,
• x = π/3 + 2πk,
• x = 5π/3 + 2πk.