Как решить уравнение 1 + cos(x) = 2 * cos(x/2)?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии уравнение решить уравнение алгебра cos(x) cos(x/2) математические уравнения Тригонометрия алгебраические задачи Новый

Для решения уравнения 1 + cos(x) = 2 * cos(x/2) необходимо следовать определенным шагам. Начнем с преобразования уравнения и применения тригонометрических тождеств.

Шаг 1: Преобразование правой части уравнения

Мы знаем, что косинус половинного угла можно выразить через косинус полного угла. Используя тождество:

• cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2)

Следовательно, можем выразить правую часть уравнения:

• 2 * cos(x/2) = 2 * sqrt((1 + cos(x))/2) = sqrt(2(1 + cos(x)))

Шаг 2: Подстановка в уравнение

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

• 1 + cos(x) = sqrt(2(1 + cos(x)))

Шаг 3: Избавление от квадратного корня

Для устранения квадратного корня возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• (1 + cos(x))^2 = 2(1 + cos(x))

Шаг 4: Раскрытие скобок

Раскроем левую часть уравнения:

• (1 + 2cos(x) + cos^2(x)) = 2 + 2cos(x)

Шаг 5: Приведение подобный членов

Перепишем уравнение, переместив все члены в одну сторону:

• cos^2(x) + 2cos(x) - 2 - 2cos(x) = 0

Упрощаем:

• cos^2(x) - 2 = 0

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение:

• cos^2(x) = 2

Однако, поскольку значение косинуса не может превышать 1, это уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 7: Проверка на наличие дополнительных решений

Следует также проверить, не привело ли какое-либо из преобразований к потере корней. Исходное уравнение имеет смысл только в определенных диапазонах значений x, поэтому важно учитывать возможные ограничения.

Заключение

Таким образом, уравнение 1 + cos(x) = 2 * cos(x/2) не имеет действительных решений, поскольку не существует значения x, для которого cos^2(x) равен 2.