Как можно решить уравнение 4cos²(x/2) - 1 = sin(2x) и найти корни на интервале от -3π/2 до π/2?

Спасибо тем, кто откликнется!

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии решение уравнения 4cos²(x/2) - 1 sin(2x) корни уравнения интервал -3π/2 до π/2 алгебра 11 класс тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения 4cos²(x/2) - 1 = sin(2x) мы будем следовать нескольким шагам. Давайте начнем с преобразования уравнения и поиска корней на заданном интервале.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Мы можем использовать тригонометрические идентичности для упрощения уравнения. Зная, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем переписать уравнение:

• 4cos²(x/2) - 1 = 2sin(x)cos(x)

Теперь давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

• cos(x) = 2cos²(x/2) - 1

Таким образом, у нас есть:

• 4cos²(x/2) - 1 = 2sin(x)(2cos²(x/2) - 1)

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь мы можем выразить уравнение в более удобной форме. Перепишем его:

• 4cos²(x/2) - 1 = 4sin(x)cos²(x/2) - 2sin(x)

Переносим все члены в одну сторону:

• 4cos²(x/2) - 4sin(x)cos²(x/2) + 2sin(x) - 1 = 0

Соберем подобные члены:

• (4 - 4sin(x))cos²(x/2) + 2sin(x) - 1 = 0

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь мы видим, что у нас есть квадратное уравнение относительно cos²(x/2). Обозначим y = cos²(x/2). Тогда уравнение принимает вид:

• (4 - 4sin(x))y + 2sin(x) - 1 = 0

Теперь выразим y:

• y = (1 - 2sin(x)) / (4 - 4sin(x))

Важно помнить, что y = cos²(x/2) должно быть неотрицательным и не превышать 1. Это дает нам ограничения на sin(x).

Шаг 4: Поиск корней на заданном интервале

Теперь мы должны найти корни уравнения на интервале от -3π/2 до π/2. Для этого мы можем использовать численные методы или графический подход, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению.

Шаг 5: Проверка корней

После нахождения возможных значений x, важно проверить каждое из них, подставив обратно в оригинальное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются корнями.

В результате, после выполнения всех шагов, вы получите корни уравнения на заданном интервале. Не забудьте проверить все найденные значения на принадлежность к интервалу и корректность решения!