Давайте разберемся с каждым из ваших вопросов по порядку.

1. Наибольшее значение функции f(x) = x² + 25 на отрезке [-10; -1]

1. Сначала мы найдем значения функции на границах отрезка. Подставим x = -10:
• f(-10) = (-10)² + 25 = 100 + 25 = 125
2. Теперь подставим x = -1:
• f(-1) = (-1)² + 25 = 1 + 25 = 26
3. Теперь сравним значения, которые мы нашли:
• f(-10) = 125
• f(-1) = 26
4. Наибольшее значение функции на отрезке [-10; -1] равно 125.

2. Наименьшее значение функции y = 27√x - x√x на отрезке [1; 16]

1. Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки:
• y' = 27/(2√x) - (√x + x/(2√x)) = 27/(2√x) - (√x + x/(2√x))
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
• 27/(2√x) = (√x + x/(2√x))
3. Теперь найдем значения функции на границах отрезка:
• y(1) = 27√1 - 1√1 = 27 - 1 = 26
• y(16) = 27√16 - 16√16 = 27*4 - 16*4 = 108 - 64 = 44
4. Теперь сравним значения на границах и в критических точках. Не забудьте проверить, есть ли критические точки в пределах отрезка.

3. Наименьшее значение функции f(x) = x² + 10x + 100 на отрезке [1; 20]

1. Для нахождения наименьшего значения сначала найдем производную:
• f'(x) = 2x + 10
2. Приравняем производную к нулю:
• 2x + 10 = 0
• x = -5
3. Критическая точка x = -5 не входит в отрезок [1; 20]. Поэтому проверяем значения на границах:
• f(1) = 1² + 10*1 + 100 = 1 + 10 + 100 = 111
• f(20) = 20² + 10*20 + 100 = 400 + 200 + 100 = 700
4. Сравниваем значения:
• f(1) = 111
• f(20) = 700
5. Наименьшее значение функции на отрезке [1; 20] равно 111.

Таким образом, мы нашли наибольшее и наименьшее значения для всех заданных функций на указанных отрезках.