Как можно найти наименьшее значение функции y=4x^2-10x+25/x на отрезке [1,4]? Пожалуйста, решите эту задачу.

Алгебра 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции функция y=4x^2-10x+25/x отрезок [1,4] решение задачи по алгебре алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 4x^2 - 10x + 25/x на отрезке [1, 4], мы будем следовать следующим шагам:

1. Определим область определения функции:

   Функция определена для всех x, кроме x = 0. Так как наш отрезок [1, 4] не включает ноль, мы можем продолжать.

2. Найдём производную функции:

   Для нахождения критических точек нам нужно найти производную функции y и приравнять её к нулю. Используем правило дифференцирования:

   y' = d/dx(4x^2) - d/dx(10x) + d/dx(25/x)

   Производная будет равна:

   • d/dx(4x^2) = 8x
   • d/dx(10x) = 10
   • d/dx(25/x) = -25/x^2

   Таким образом, y' = 8x - 10 - 25/x^2.

3. Приравняем производную к нулю:

   Теперь решим уравнение:

   8x - 10 - 25/x^2 = 0

   Умножим обе стороны на x^2 (при этом x не равен нулю):

   8x^3 - 10x^2 - 25 = 0

   Это кубическое уравнение, которое можно решить численно или графически. Однако, для упрощения, мы можем использовать численные методы или графический калькулятор.

4. Найдём значения функции на границах отрезка:

   Теперь подставим границы отрезка x = 1 и x = 4 в исходную функцию:

   • Для x = 1: y(1) = 4(1)^2 - 10(1) + 25/1 = 4 - 10 + 25 = 19.
   • Для x = 4: y(4) = 4(4)^2 - 10(4) + 25/4 = 64 - 40 + 6.25 = 30.25.
5. Сравним значения:

   Теперь нам нужно сравнить значения функции в критических точках (которые мы найдём) и на границах отрезка:

   Мы уже вычислили:

   • y(1) = 19
   • y(4) = 30.25

   Теперь, если мы найдем критическую точку x* из кубического уравнения, подставим ее в функцию и сравним.

После нахождения критической точки, мы сравним все найденные значения функции и выберем наименьшее из них. Это и будет наименьшее значение функции на отрезке [1, 4].