Как можно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями: y=x^2-6x+5, y=0, x=4 и x=1?

Алгебра 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции алгебра 11 класс интегралы функции y=x^2-6x+5 график функции ограниченные линии методы нахождения площади задачи по алгебре Новый

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x^2 - 6x + 5, осью x (y = 0) и вертикальными линиями x = 1 и x = 4, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривой с осью x.

   Для этого решим уравнение:

   y = x^2 - 6x + 5 = 0.

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*1*5 = 36 - 20 = 16.
   • Корни уравнения: x1 = (6 + √16)/2 = 5, x2 = (6 - √16)/2 = 1.

   Таким образом, точки пересечения с осью x находятся в x = 1 и x = 5.

2. Определить область, в которой будем находить площадь.

   Поскольку нас интересует область между x = 1 и x = 4, мы можем игнорировать точку x = 5, так как она находится за пределами нашего интервала.

3. Вычислить площадь, используя интеграл.

   Площадь S под кривой от x = 1 до x = 4 можно найти по формуле:

   S = ∫(от 1 до 4) (x^2 - 6x + 5) dx.

   Теперь вычислим интеграл:

   • Интеграл от x^2 = (1/3)x^3,
   • Интеграл от -6x = -3x^2,
   • Интеграл от 5 = 5x.

   Таким образом, получаем:

   ∫(x^2 - 6x + 5) dx = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x.

4. Вычислить определенный интеграл от 1 до 4.

   Теперь подставим границы интегрирования:

   S = [(1/3)(4^3) - 3(4^2) + 5(4)] - [(1/3)(1^3) - 3(1^2) + 5(1)].

   Вычислим каждую часть:

   • Для x = 4: (1/3)(64) - 3(16) + 20 = (64/3) - 48 + 20 = (64/3) - (144/3) + (60/3) = (64 - 144 + 60)/3 = (-20)/3.
   • Для x = 1: (1/3)(1) - 3(1) + 5 = (1/3) - 3 + 5 = (1/3) + (15/3) = (16/3).

   Теперь подставим результаты:

   S = [(-20)/3] - [(16)/3] = (-20 - 16)/3 = -36/3 = -12.

5. Получить положительное значение площади.

   Площадь не может быть отрицательной, поэтому мы берем модуль:

   Площадь = |S| = 12.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, равна 12.