Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y=4x-x^2, y=x и прямой y=0, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых.
   • Сначала найдем точки пересечения y=4x-x^2 и y=x. Для этого приравняем уравнения:
   • 4x - x^2 = x.
   • Переносим все в одну сторону: x^2 - 3x = 0.
   • Вынесем x за скобки: x(x - 3) = 0.
   • Таким образом, x = 0 и x = 3. Эти значения - это точки пересечения.
2. Найти площадь, заключенную между кривыми.
   • Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив интеграл от верхней функции до нижней функции.
   • В нашем случае верхней функцией будет y=4x-x^2, а нижней - y=x.
   • Площадь S рассчитывается по формуле:
   • S = интеграл от 0 до 3 ( (4x - x^2) - x ) dx.
   • Упрощаем выражение внутри интеграла: 4x - x^2 - x = 3x - x^2.
3. Вычислить интеграл.
   • Теперь нам нужно вычислить интеграл:
   • S = интеграл от 0 до 3 (3x - x^2) dx.
   • Находим первообразную: (3/2)x^2 - (1/3)x^3.
   • Теперь подставим пределы интегрирования:
   • S = [(3/2)(3^2) - (1/3)(3^3)] - [(3/2)(0^2) - (1/3)(0^3)].
   • Вычисляем: S = [(3/2)(9) - (1/3)(27)] - 0 = (27/2) - 9 = (27/2) - (18/2) = 9/2.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 9/2 или 4.5.