Как можно вычислить площадь криволинейной трапеции, которая ограничена осью Ox, вертикальными линиями x=-2 и x=3, а также параболой y = x^2-1?

Алгебра 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции ось OX вертикальные линии парабола y=x^2-1 интеграл алгебра 11 класс вычисление площади математический анализ Новый

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными линиями и параболой, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Определить границы интегрирования.

   В данном случае границы интегрирования определяются вертикальными линиями x = -2 и x = 3.

2. Записать уравнение функции.

   Наша функция - это парабола, заданная уравнением y = x^2 - 1.

3. Найти точки пересечения параболы с осью Ox.

   Для этого нужно решить уравнение:

   • 0 = x^2 - 1
   • Это уравнение можно переписать как x^2 = 1.
   • Таким образом, x = ±1.
4. Построить график функции.

   На графике видно, что парабола пересекает ось Ox в точках (-1, 0) и (1, 0).

5. Определить, какие части графика находятся выше оси Ox.

   Парабола y = x^2 - 1 находится выше оси Ox в интервале от -2 до -1 и от 1 до 3.

6. Записать интеграл для площади.

   Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определенный интеграл:

   Площадь = ∫ от -2 до 3 (x^2 - 1) dx.

7. Вычислить интеграл.

   Сначала найдем неопределенный интеграл:

   • ∫ (x^2 - 1) dx = (1/3)x^3 - x + C.

   Теперь подставим границы интегрирования:

   • Площадь = [(1/3)(3)^3 - (3)] - [(1/3)(-2)^3 - (-2)]
   • Площадь = [(1/3)(27) - 3] - [(1/3)(-8) + 2]
   • Площадь = [9 - 3] - [-8/3 + 2]
   • Площадь = 6 - [-8/3 + 6/3] = 6 + 2/3 = 6 + 0.67 = 6.67.
8. Итоговый результат.

   Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными линиями x = -2 и x = 3, а также параболой y = x^2 - 1, равна 6.67.