Как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций: у = х² + 3 и у = 2х + 6?

Алгебра 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции графики функций алгебра 11 класс у = х² + 3 у = 2х + 6 нахождение площади задачи по алгебре Новый

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций y = x² + 3 и y = 2x + 6, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графиков функций.

Для этого приравняем функции:

x² + 3 = 2x + 6

Переносим все члены в одну сторону:

x² - 2x + 3 - 6 = 0

x² - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Корни уравнения:

x1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3

x2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 3.

2. Определить интегралы для нахождения площади.

Площадь S между двумя графиками от x = -1 до x = 3 вычисляется по формуле:

S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В данном случае верхней функцией является y = 2x + 6, а нижней y = x² + 3.

Таким образом, площадь S равна:

S = ∫[-1, 3] ((2x + 6) - (x² + 3)) dx.

Упростим выражение под интегралом:

S = ∫[-1, 3] (2x + 6 - x² - 3) dx = ∫[-1, 3] (-x² + 2x + 3) dx.

3. Вычислить определенный интеграл.

Теперь найдем первообразную для функции -x² + 2x + 3:

F(x) = -1/3 * x³ + x² + 3x.

Теперь вычислим определенный интеграл от -1 до 3:

S = F(3) - F(-1).

4. Подставить значения.

Сначала найдем F(3):

F(3) = -1/3 * (3)³ + (3)² + 3 * (3) = -9 + 9 + 9 = 9.

Теперь найдем F(-1):

F(-1) = -1/3 * (-1)³ + (-1)² + 3 * (-1) = 1/3 + 1 - 3 = 1/3 - 3 = -8/3.

5. Вычислить разность.

S = 9 - (-8/3) = 9 + 8/3 = 27/3 + 8/3 = 35/3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 35/3.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций y = x² + 3 и y = 2x + 6, равна 35/3.