Как можно найти sin 18° с помощью тригонометрии, используя приведенное решение? Пожалуйста, подробно объясните, как происходит преобразование уравнений и какие шаги нужно предпринять для получения конечного результата. В частности, разъясните следующие моменты:

1. Как связаны sin 36° и cos 54°?
2. Как выглядит уравнение 2 sin 18° cos 18° = cos 18° cos 36° – sin 18° sin 36° и какие тригонометрические тождества здесь используются?
3. Как происходит переход от 2 sin 18° cos 18° к 1 – 4sin²18°?
4. Как решается квадратное уравнение и почему важно учитывать, что sin 18° > 0?

Надеюсь на детальное объяснение каждого шага, чтобы я мог защитить это решение.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства sin 18° Тригонометрия 11 класс преобразование уравнений sin 36° cos 54° уравнение 2 sin 18° cos 18° тригонометрические тождества переход к 1 – 4sin²18° квадратное уравнение sin 18° > 0 детальное объяснение шаги решения алгебра Новый

Чтобы найти значение sin 18°, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и некоторыми известными углами. Начнем с того, что мы знаем, что sin 36° равен cos 54°. Это связано с тем, что угол 54° является дополнением к 36° (90° - 36° = 54°). То есть:

• sin 36° = cos 54°

Кроме того, мы можем выразить sin 36° через sin 18° с помощью формулы синуса двойного угла:

• sin 36° = 2 sin 18° cos 18°

Теперь, используя формулу косинуса суммы, мы можем выразить cos 54° как:

• cos 54° = cos(18° + 36°) = cos 18° cos 36° - sin 18° sin 36°

Теперь мы подставляем наши выражения для sin 36° и cos 54° в уравнение:

• 2 sin 18° cos 18° = cos 18° cos 36° - sin 18° sin 36°

Следующий шаг — выразить cos 36° через sin 18°. Мы знаем, что:

• cos 36° = 1 - 2sin² 18°

Теперь мы можем подставить это в наше уравнение:

• 2 sin 18° cos 18° = cos 18° (1 - 2sin² 18°) - sin 18° (2 sin 18° cos 18°)

Сокращая обе части на cos 18°, мы получаем:

• 2 sin 18° = 1 - 4sin² 18°

Теперь мы можем привести это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

• 4sin² 18° + 2sin 18° - 1 = 0

Теперь находим дискриминант (D) этого уравнения:

• D = 2² - 4 * 4 * (-1) = 4 + 16 = 20

Теперь мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

• sin 18° = (-2 ± √20) / (2 * 4)

Это дает два возможных значения. Однако, так как мы знаем, что sin 18° должен быть положительным (поскольку 18° — это острый угол), нам нужно выбрать только положительное значение:

• sin 18° = (-1 - √5) / 4

Таким образом, мы нашли значение sin 18°. Важно помнить, что при решении тригонометрических уравнений необходимо учитывать, что синус острых углов всегда положителен.