Как можно найти tg²a, если известно, что 4 sin²a + 10 cos²a = 9?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения и тождества tg²a sin2a cos2a уравнение алгебра Тригонометрия решение задачи математические выражения 11 класс формулы Новый

Для решения уравнения 4 sin²a + 10 cos²a = 9, начнем с преобразования данного выражения. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²a + cos²a = 1.

Из этого тождества мы можем выразить sin²a через cos²a:

sin²a = 1 - cos²a.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

1. Заменяем sin²a в уравнении:

4(1 - cos²a) + 10 cos²a = 9.

2. Раскроем скобки:

4 - 4 cos²a + 10 cos²a = 9.

3. Соберем подобные члены:

4 + 6 cos²a = 9.

4. Переносим 4 на правую сторону:

6 cos²a = 9 - 4.

5. Упрощаем:

6 cos²a = 5.

6. Делим обе стороны на 6:

cos²a = 5/6.

Теперь, чтобы найти tg²a, воспользуемся соотношением между tg, sin и cos:

tg²a = sin²a / cos²a.

Сначала найдем sin²a, используя уже найденное значение cos²a:

1. Используем тождество:

sin²a = 1 - cos²a = 1 - 5/6 = 1/6.

2. Теперь подставим значения sin²a и cos²a в формулу для tg²a:

tg²a = (1/6) / (5/6).

3. Упрощаем дробь:

tg²a = (1/6) * (6/5) = 1/5.

Таким образом, мы нашли значение tg²a:

tg²a = 1/5.