Как можно решить уравнение:

sin(x+pi/12)cos(x-pi/12)=1/2

 

И каким образом можно доказать тождество:

2sint sin2t+cos3t=cost

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения и тождества решение уравнения синус косинус тождество алгебра алгебра 11 класс тригонометрические функции Новый

Давайте сначала решим уравнение sin(x + pi/12)cos(x - pi/12) = 1/2.

Для начала воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:

• sin(A)cos(B) = 1/2[sin(A + B) + sin(A - B).

Подставим A = x + pi/12 и B = x - pi/12:

• A + B = (x + pi/12) + (x - pi/12) = 2x
• A - B = (x + pi/12) - (x - pi/12) = pi/6

Таким образом, уравнение можно переписать так:

sin(x + pi/12)cos(x - pi/12) = 1/2 = 1/2[sin(2x) + sin(pi/6).

Теперь подставим значение sin(pi/6), которое равно 1/2:

1/2 = 1/2[sin(2x) + 1/2].

Умножим обе стороны уравнения на 2:

1 = sin(2x) + 1/2.

Теперь вычтем 1/2 из обеих сторон:

1/2 = sin(2x).

Теперь найдем общее решение для уравнения sin(2x) = 1/2. Это происходит при:

• 2x = pi/6 + 2k*pi или
• 2x = 5pi/6 + 2k*pi, где k - целое число.

Делим обе части на 2:

• x = pi/12 + k*pi или
• x = 5pi/12 + k*pi.

Теперь перейдем ко второму вопросу о доказательстве тождества 2sin(t)sin(2t) + cos(3t) = cos(t).

Для начала воспользуемся формулой произведения синусов:

• 2sin(a)sin(b) = cos(a - b) - cos(a + b).

Применим эту формулу к нашему выражению:

• 2sin(t)sin(2t) = cos(t - 2t) - cos(t + 2t) = cos(-t) - cos(3t).
• Так как cos(-t) = cos(t), то получаем: 2sin(t)sin(2t) = cos(t) - cos(3t).

Теперь подставим это в тождество:

cos(t) - cos(3t) + cos(3t) = cos(t).

Таким образом, мы доказали, что:

2sin(t)sin(2t) + cos(3t) = cos(t).

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!