Как можно найти значение функции sina-cosa, если известно, что tg(a/2) = 3?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства значение функции sina-cosa tg(a/2) = 3 алгебра 11 класс Тригонометрия решение уравнений Новый

Чтобы найти значение функции sin(a) - cos(a), зная, что tg(a/2) = 3, мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества и формулы. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Используем соотношение для тангенса половинного угла:

   Известно, что tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2). Если tg(a/2) = 3, то мы можем записать:

   sin(a/2) = 3 * cos(a/2)

2. Находим sin(a/2) и cos(a/2):

   Пусть cos(a/2) = x. Тогда:

   sin(a/2) = 3x

   Используем основное тригонометрическое тождество:

   sin²(a/2) + cos²(a/2) = 1

   Подставим значения:

   (3x)² + x² = 1

   9x² + x² = 1

   10x² = 1

   x² = 1/10

   x = 1/√10 или x = -1/√10 (но мы возьмем положительное значение, так как угол a/2 может быть в первой или второй четверти).

   Таким образом, cos(a/2) = 1/√10, и следовательно, sin(a/2) = 3/√10.

3. Находим sin(a) и cos(a):

   Используем формулы двойного угла:

   sin(a) = 2 * sin(a/2) * cos(a/2)

   cos(a) = cos²(a/2) - sin²(a/2)

   Теперь подставим найденные значения:

   sin(a) = 2 * (3/√10) * (1/√10) = 6/10 = 3/5

   cos(a) = (1/√10)² - (3/√10)² = 1/10 - 9/10 = -8/10 = -4/5

4. Находим значение функции sin(a) - cos(a):

   Теперь мы можем найти sin(a) - cos(a):

   sin(a) - cos(a) = (3/5) - (-4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5.

Ответ: Значение функции sin(a) - cos(a) равно 7/5.