Как можно обосновать, что cos(2arcsin(1/2)) равен 1/2, применяя формулы для косинуса двойного угла и характеристики обратных тригонометрических функций?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства cos(2arcsin(1/2) формулы косинуса двойного угла обратные тригонометрические функции алгебра 11 класс Тригонометрия доказательство тригонометрических равенств Новый

Чтобы обосновать, что cos(2arcsin(1/2)) равен 1/2, мы можем использовать формулы для косинуса двойного угла и свойства обратных тригонометрических функций. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем значение arcsin(1/2)

• Функция arcsin(x) возвращает угол, значение синуса которого равно x.
• Мы знаем, что sin(30°) = 1/2, или в радианах sin(π/6) = 1/2.
• Таким образом, arcsin(1/2) = π/6.

Шаг 2: Найдем 2 * arcsin(1/2)

• Теперь мы можем выразить 2 * arcsin(1/2):
• 2 * arcsin(1/2) = 2 * (π/6) = π/3.

Шаг 3: Применим формулу косинуса двойного угла

• Формула для косинуса двойного угла выглядит так: cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).
• В нашем случае θ = arcsin(1/2), то есть θ = π/6.

Шаг 4: Найдем cos(π/6) и sin(π/6)

• Значения тригонометрических функций для угла π/6:
• sin(π/6) = 1/2;
• cos(π/6) = √3/2.

Шаг 5: Подставим значения в формулу косинуса двойного угла

• Теперь подставим значения в формулу:
• cos(2 * arcsin(1/2)) = cos(π/3) = cos(2 * (π/6)) = cos²(π/6) - sin²(π/6).
• Это равняется (√3/2)² - (1/2)² = 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Таким образом, мы обосновали, что cos(2arcsin(1/2)) действительно равен 1/2. Мы использовали свойства обратных тригонометрических функций и формулу косинуса двойного угла для получения результата.