Как можно обосновать, что cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) равно -1/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения и тождества алгебра 11 класс cos(2π/7) cos(4π/7) cos(6π/7) сумма косинусов тригонометрические функции обоснование равенства Новый

Чтобы обосновать, что cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2, мы можем использовать некоторые свойства тригонометрических функций и их симметрию.

Рассмотрим выражение cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7). Эти углы являются равномерно распределенными на окружности, и мы можем воспользоваться свойством симметрии косинуса.

Для начала, заметим, что:

• cos(6π/7) = cos(π - 6π/7) = cos(π/7),
• cos(4π/7) = cos(π - 4π/7) = cos(3π/7).

Таким образом, мы можем переписать наше выражение:

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = cos(2π/7) + cos(3π/7) + cos(π/7).

Теперь мы можем использовать формулы для суммы косинусов. Сумма косинусов можно выразить через комплексные числа:

Суммируем корни уравнения:

z^7 - 1 = 0, где z = e^(iθ), и корни этого уравнения равны e^(2πik/7) для k = 0, 1, 2, ..., 6.

Суммируя все корни, мы получаем:

e^(0) + e^(2πi/7) + e^(4πi/7) + e^(6πi/7) + e^(8πi/7) + e^(10πi/7) + e^(12πi/7) = 0.

Объединим корни:

• e^(0) = 1,
• e^(2πi/7) + e^(12πi/7) = 2cos(2π/7),
• e^(4πi/7) + e^(10πi/7) = 2cos(4π/7),
• e^(6πi/7) + e^(8πi/7) = 2cos(6π/7).

Таким образом, мы можем записать:

1 + 2(cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)) = 0.

Решая это уравнение, получаем:

2(cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)) = -1.

Следовательно:

cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2.

Таким образом, мы обосновали, что cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2.