Как можно обосновать, что для рациональности sinx и cosx необходимо и достаточно, чтобы tg(x/2) был рационален, при условии, что x не равно π + 2πk, где k принадлежит целым числам?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства рациональность sinx рациональность cosx tg(x/2) рационален обоснование тригонометрии алгебра 11 класс Новый

Чтобы обосновать, что для рациональности sin(x) и cos(x) необходимо и достаточно, чтобы tg(x/2) был рационален, начнем с определения тригонометрических функций через тангенс половинного угла.

Шаг 1: Используем формулы для синуса и косинуса через тангенс половинного угла.

• Согласно формуле, мы можем выразить sin(x) и cos(x) через tg(x/2):
• sin(x) = 2 * tg(x/2) / (1 + tg^2(x/2))
• cos(x) = (1 - tg^2(x/2)) / (1 + tg^2(x/2))

Шаг 2: Рассмотрим, что tg(x/2) рационален.

• Пусть tg(x/2) = a, где a - рациональное число.
• Тогда, подставляя a в формулы, получаем:
• sin(x) = 2a / (1 + a^2)
• cos(x) = (1 - a^2) / (1 + a^2)

Обе выражения для sin(x) и cos(x) являются рациональными, поскольку числители и знаменатели представляют собой целые числа (так как a - рациональное число).

Шаг 3: Теперь обратный путь - если sin(x) и cos(x) рациональны, то tg(x/2) также рационален.

• Предположим, что sin(x) и cos(x) являются рациональными числами.
• Используем соотношение:
• tg(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)).
• Поскольку sin(x) и cos(x) рациональны, то 1 + cos(x) также рационально (сумма рационального числа и целого).
• Таким образом, tg(x/2) будет равно отношению двух рациональных чисел, что также является рациональным.

Шаг 4: Подводим итог.

Мы доказали, что:

• Если tg(x/2) рационален, то sin(x) и cos(x) рациональны.
• Если sin(x) и cos(x) рациональны, то tg(x/2) рационален.

Таким образом, мы можем заключить, что для рациональности sin(x) и cos(x) необходимо и достаточно, чтобы tg(x/2) был рационален, при условии, что x не равно π + 2πk, где k принадлежит целым числам.